学位论文-—逼近法的相关研究数学.doc

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1、本科毕业论文题目：逼近法的相关研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：晁燕萍指导教师：许芝卉职称：副教授完成日期：2011年5月20日逼近法的相关研究摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函

2、分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近;二分逼近;逐次逼近;逐步逼近目录引言1二分逼近法1二分逼近法的典型证明方式1二分逼近法在数学分析中的应用2逐次逼近法以及在泛函分析中的应用3逐步逼近法4逐步逼近法在微分方程中的应用5一次同余式组的逐步逼近解法8用剩余定理求解的方法9逐步逼近法10两种解法计算量的比较12参考文献13引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、

3、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列以A为极限,其意即为用去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用,.以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.二分逼近法二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质的实数,则可以从一个具有相应性质的闭区间出发,逐次二等分,得到

4、一个始终保持的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质.(由性质决定)2）逐次二等分得到闭区间列,则所有的闭区间都具有性质,且(亦可写成：)从而得到左右夹逼数列与满足：3）由实数的连续性得到实数,属于所有的闭区间,使满足：具有性质.这是由于属于所有的闭区间,被与左右夹逼,不妨形象的表示为：因而,的任意小的邻域内都包含（m足够大）,于是14具有,故具有性质.是唯

5、一的.事实上,若不唯一,设,且满足,则对任何m,,得到,而,故,即唯一.二分逼近法在数学分析中的应用例1设在上连续的单调递增函数满足:,则存在,使.证明令,将二等分,分点为,若,则命题结论成立.若,则取,若,则取.逐次二等分区间,一般的对于区间,若,则命题结论成立;否则,若,则取,若,则取.从而得到两个夹逼数列与满足：且14于是可知存在实数,使,由于单增,所以,即:令上述证明中,所求的数具有的性质:,而构造的闭区间具有性质,则确定为,从而得到夹逼数列将“逼出”.在不同问题的论证中性质与相应的是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实际加以明

6、确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明设是完备的度量空间,：XX是压缩映射,即对于任意,不等式成立,其中是满足不等式的常数.先证映

7、射有不动点.构造X中的序列.任取,并令,我们证明是中的基本点列,事实上,14………一般地,可以证明于是,对自然数n与,由广义三角不等式得对任何给定的,只有n充分大,则因而是柯西序列.又因是完备的,柯西序列是收敛的,即存在,使,再由于是压缩映射,必为连续映射,于是.在中,令,得到即是不动点.再证唯一性.若不唯一,设不动点,则,于是存在使则必有,故,则有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.逐步逼近法14逐步逼近法也是逼

8、近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题---