第六讲中学数学的逻辑基础(2)

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1、第六讲中学数学的逻辑基础（2）本讲简介：      恩格斯指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。”中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，也部分地涉及到辩证逻辑。本讲以唯物辩证法作指导，重点考察数学推理和数学证明的逻辑基础。知识结构：学习建议：      13逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，这些规律是进行正确思维的保证，务必深刻理解并自觉地遵循。演绎推理和完全归纳法是严格的推理形式，是数学证明的重要工具。不完全归纳法和类比法虽然只是似真的推理，但它们在科学和数学的发现和发明中有重要的作用，

2、在数学教学中有助于寻找规律、猜测结论、探究解题思路，应引起足够的重视。反证法是一种常用的证明方法，它的逻辑基础是矛盾律和排中律，要理解反证法的实质并熟练掌握其步骤。重点与难点：      本讲的重点是熟练正确地运用演绎推理、归纳推理、类比推理这三种推理形式以及牢固掌握反证法的证明步骤。第一节逻辑思维的基本规律一、同一律    同一律的内容是：在同一思维过程中，所有的概念、命题必须确定，必须始终保持一致。   根据同一律的内容，，它有两点基本要求：   一是思维对象应保持同一。例如，解方程或因式分解时，在什么数集中讨论应该确定，否则结果就可能不同。  

3、 二是表示同一事物的概念应保持同一。即概念的内涵和外延应确定，不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起来用同一个概念表示。例如，用同一个字母或符号表示不同的概念或对象就违反了同一律。违反同一律常见的错误是思维混乱，前后不一。在推理、证明过程中，具体表现为偷换概念、偷换论题等错误。    应该指出，同一律要求的“同一”，是指在“同一思维过程”中，在不同的思维过程中，我们并不要求概念和命题永远保持不变。例如，“角”的概念在平面几何、立体几何和三角函数中就有不同的含义。二、矛盾律    矛盾律的内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾（或对立）

4、的命题不能同真，必有一假。    矛盾律要求思维不能自相矛盾。例如，“是无理数”和“是有理数”是两个互相矛盾的命题，其中必有一个是假的。又如，“是锐角三角形”和“13是钝角三角形”是两个互相对立的命题，其中至少有一个是假的。三、排中律    排中律的内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾的命题和不能同假，必有一真。    排中律要求人们的思维有明确性，避免模棱两可。例如，如果我们证明了“是有理数”是假的，根据排中律，就可断定“是无理数”是真的。    根据矛盾律和排中律，两个互相矛盾的命题和恰有一个真的，一个假的。它们是反证法的逻辑基础。当直接证明一

5、个命题有困难时，可以证明由这个命题的否定命题（否定式）会推出互相矛盾的结果就行了。四、充足理由律    充足理由律的内容是任何一个真实的命题，必须有充足的理由。充足理由律要求理由和推断之间，存在着本质上的必然联系。理由应是推断的充分条件，推断应是理由的必要条件。 第二节　数学推理 一、推理的意义和结构    推理是从一个或几个已知命题，得出另一个新命题的思维形式。    任何推理都包含前提和结论两个部分。前提是推理所依据的部分，它告诉我们已知的事实是什么，推理的前提可以是一个或几个。结论是根据前提所推出的命题，它告诉我们推出的结果是什么。    数学

6、推理，是寻求新的结果，由已知进到未知的重要方法，也是解答数学问题、进行数学证明的基本工具。逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，即进行推理时要合乎推理的形式，遵守推理的规则。    数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理、类比推理。13二、演绎推理    演绎推理，又称演绎法。它是从一般性较大的前提，推得一般性较小的结论的推理。简单地说，演绎推理是由一般到个别或特殊的推理。    演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系。只要前提是真的，由演绎推理得出的结论一定是真的。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。    演绎推理的常见形式有关系推理

7、、联言推理、选言推理和假言推理等。我们先来考察作为演绎推理重要依据的逻辑公理。1.逻辑公理    逻辑公理：如果某一集合中的所有元素都具有属性，则中的每一个个别的元素也具有属性。于是有推理规则：                            逻辑公理的推广：如果某一集合中的所有元素都具有属性，则集合的任一非空子集中的每一元素也具有属性。于是有推理规则：                          规则和都适用于以全称命题为前提的推理。2.关系推理3.联言推理    联言推理是根据联言命题的逻辑性质而进行的推理，它的前提或结论是联言命题。

8、13（1）联言推理的分解式。由联言命题为真，推演出它的合取项为真的推理，称为联弹推理的分解式。