平面解析几何初步复习

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1、【同步教育信息】一.本周教学内容：平面解析几何初步复习二.知识分析：【本章知识网络】1.从几何直观到代数表示，把直线画在直角坐标系中，建立直线的方程2.从代数表示到几何直观，通过直线的方程研究直线的几何性质和距离3.圆的方程【复习建议】在复习有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：1.在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．2.在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况．如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零

2、截距”，从而丢解。此时最好采用点斜式或斜截式求解。3.在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”造成的丢解。如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论。4.要学会变形使用两点间的距离公式求直线l上两点的距离时，一般使用；当已知直线l的斜率k时，可以将上述公式变形为：（其中）特别地，当求直线l被圆锥曲线所截得的弦长时，把直线的方程代入圆锥曲线的方程，整理成关于x或y的一元二次方程时，一是要充分考虑到“△≥0”的限制条件，二要注意运用韦达定理的转化作用，充分体现“设而不求

3、法”的妙用．5.灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算．6.在由两直线的位置关系确定有关字母的值，或讨论直线中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想．第一讲直线的斜率与直线的方程一.直线方程的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．二.直线的倾斜角、斜率、方向向量与法向量在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转

4、到和直线重合时所转的最小正角记为θ，那么θ就叫做直线的倾斜角．倾斜角不是900的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示．1.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00.2.直线倾斜角的取值范围是00≤θ＜1800.3.倾斜角是900的直线没有斜率．方向向量：与直线平行的非零向量．法向量：与直线垂直的非零向量．三.斜率公式经过两点的直线的斜率公式：1.斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可“同时颠倒”．2.斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角．3.斜率公式是研究直线方程各

5、种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用．4.当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角θ等于900，没有斜率．四.直线方程的几种形式1.点斜式：其中（x0，y0）为直线上任一点的坐标，k为直线的斜率．（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的．（2）当直线l的倾斜角为00时，直线方程为y=y0（3）当直线l的倾斜角为900时，直线没有斜率，它的方程为：x=x0，这不是点斜式方程。2.斜截式：y=kx＋b（1）b为直线l在y轴上的截距．（2）斜截式方程可由过点（0,b）的点斜式方程得到．（3）当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．3.两点式：其中是直线上两点的坐标．（1）这个方程

6、由直线上的两点确定．（2）当直线没有斜率（）或斜率为0（）时，不能用两点式求出它的方程．4.截距式：其中a,b分别为直线在x轴和y轴上的截距．这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式．5.直线方程的一般式：这条直线的一个法向量为【典例分析】例1.设直线的斜率为k，且，求直线倾斜角的范围。解：当时，；当时，；所以直线倾斜角的范围是。例2.设直线l的方程为。（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围。分析：（1）注意讨论：分直线过原点和不过原点两类；（2）注意过原点的情况。解：（1）当直线过原点时，该直线在x

7、轴和y轴上的截距为零。方程为；当直线不过原点时，，由，得a＝0，方程为，故所求的方程为。（2）将l的方程化为，欲使l不经过第二象限，当且仅当，故所求a的取值范围为。例3.一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程。（1）倾斜角是直线的倾斜角的2倍；（2）夹在两坐标轴间的线段被P分成1∶2。解：（1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为则从而方程为。（2）由题意，设直线交x轴于A，交y轴于B当时，方程为。当时，方程为。点评：求直线方程时，应从条件出发，合理选择直线