最大公约数与最小公倍数

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1、最大公约数与最小公倍数 一、引例   甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 二、基础知识   如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。   "倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内

2、，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。   几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12、16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12、15、18）=3。   几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，

3、……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。1、分解质因数法   把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。  把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积

4、就是这几个数的最小公倍数。例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。2、短除法   短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求24、48、60的最大公约数。（24、48、60）=2×3×2=12   短除法求

5、最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。（12、15、18）=3×2×2×5×3=180   无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。3、辗转相除法   先看一个例子：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大

6、的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是___________毫米。解：剪的过程如图所示第一，二次剪下848×847平方毫米的正方形。第二，三次剪下边长308毫米的正方形第五次剪下边长231毫米的正方形。第六、七、八次剪下边长77毫米的正方形。以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法。以上过程可用算式表示如下：2002=847×2+308847=308×2+231308=231×2+77231=77×3   由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为

7、零。最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿此题来讲，2002和847的公约数，也就是847和308的公约数。由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数。辗转相除法的竖式格式如下：   在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数

8、的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]