精选圆的例题(含详解)

《精选圆的例题(含详解)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、【典型例题】例1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：解：∴点导火索的人非常安全例2.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。此题容易出现丢

2、解的情况，要注意分情况讨论。解：分两种情况讨论：（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F连OC、OB，则CE＝DE∵AB∥CD，OE⊥CD∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：24过O作OE⊥CD于E，交AB于F以下证法同（1），略。例3.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连

3、BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为解：连结BC、BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADB∴AC·AD＝AE·AB同理，BD·BC＝BF·AB24∵△APE∽△BPF∵P为半径OB的中点∴tanC·tanD＝3例4.分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。

4、证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。例5.如图，已知四

5、边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。24分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结OD，BD∴∠ABC＝∠AOD∴OD∥BC∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO∴AB＝16，BE＝24∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠EDA＝∠EBC∵∠E是公共角∴△EDA∽△EBC设AD＝DC＝x，ED＝y，则有∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝∠F＝90°又∠DAB＝∠FCB∴Rt△ADB∽Rt△CFB说明：与圆有关的问题，大都与

6、相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。例6.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于24解：连结FD∵AB是直径，∴AD⊥BC∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB∵四边形ABDF是圆内接四边形∴∠CFD＝∠B∵∠C是公共角∴△ABC∽△DFC∵AB＝AC∴CD＝DF（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。）∵DE切⊙O于D∴∠FAD＝∠EDF又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB∴∠CD

7、E＝∠DAB∴∠CDE＝∠EDF∵CD＝FD∴CE＝EF，DE⊥CF∴设CD＝3x，AC＝5x24∴EC＝9例7.如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解：∵公共弦AB＝120例8.（2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。（2）制作这样一个烟盒至少需