第四章 微分中值定理

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1、第四章微分中值定理4.1微分中值定理　　微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。　　一、罗尔定理　　我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可

2、导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。　　定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：　　（1）在闭区间[a、b]上连续；　　（2）在开区间（a、b）内可导；　　（3）f（a）=f（b）,　　则至少存在一点　　罗尔定理也有十分明显的几何意义，　　设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A和B的纵坐标相同。定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的

3、几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）　　　　有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。　　　　例1　在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（　）　　　　[答疑

4、编号10040101：针对该题提问]　　解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。　　虽然函数y=（x+1）2和y=x在[-1，1]上连续、可导，但是这两个函数在端点-1和1处的函数值不相等，所以满足罗尔定理的条件。　　函数虽然在闭区间[-1，1]上连续，在开区间（-1，1）内可导，并且y（-1）=y（1）=2，所以满足罗尔定理的条件。　　综上所述，选择（D）　　例2　验证函数y=lnsinx在闭区间上满足罗尔定理的条件，并求出使罗尔定理成立的。　　[答疑编号10040102：针对该题提问]　　解：函数y=lnsi

5、nx是初等函数，而在上所以函数y=lnsinx在上有定义，因而连续，且在内可导。其导数为　　因此，函数上满足罗尔定理的条件，从方程　　不难解出使罗尔定理成立的只有一个，即　　例3　说明下列函数在所在的区间上是否满足罗尔定理的三个条件，如果满足，请求中值C。　　　　[答疑编号10040103：针对该题提问]　　　　[答疑编号10040104：针对该题提问]　　　　[答疑编号10040105：针对该题提问]　　　　[答疑编号10040106：针对该题提问]　　在[-1，1]上有意义，∴f（x）在[-1，1]上连续　　内不是处处可导，不满足罗定理第二个条件。　

6、　　　　　　　∴f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导。　　∵f（1）=1，f（2）=4，∴f（1）≠f（2）　　∴f（x）=x2在[1，2]上不满足罗尔定理的第三个条件。　　　　　　∵f（0）=2，　f（2）=2　∴f（0）=f（2）　　上满足罗尔定理三个条件　　　　例4　验证：若f（x）=x（x-1）（x-2）　　则方程f’（x）=0在（0，1）、（1，2）内各有一实根。　　[答疑编号10040107：针对该题提问]　　证：（1）f（x）处处可导，处处连续。　　∵f（0）=f（1）=0　　∴在（0，1）内至少存在实数0

7、2）∵f（1）=f（x）=0　　　　即x=C2是方程f’（x）=0的实根。　　（3）因为f’（x）=0是一元二次方程，只有二个实根，所以方程f’（x）=0在（0，1），（1，2）内各有一实根。　　例5　证明方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。　　[答疑编号10040108：针对该题提问]　　证：讨论函数f（x）=x4-2x2+x　　∴f’（x）=4x3-4x+1,f（0）=f（1）=0,f（0）=f（1）=0,很明显f（x），在[0，1]上满足罗尔定理三个条件，所以在（0，1）内至少有0

8、0，1）内至少有一根。　　故方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。