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1、09级《线性代数》（A）阶段练习题（二）09级《线性代数》（）阶段练习题（二）一、填空题1.矩阵则2.设为三阶非零矩阵，且,则t=3.若四阶矩阵的秩则.（见证明题5）4.已知向量组线性无关，,,则当2时，线性相关..5.若向量组线性无关，则向量组线性无关.6.若向量组线性无关，向量组线性相关.7.向量组当时可由线性表示.8.线性方程组的基础解系为.9.四元方程组中，是它的三个解.其中,则方程组的通解为：10.向量空间的维数是.二、选择题1.下列矩阵中（）是初等矩阵.Page7of709级《线性代数》（A）阶段练习题（二）.2.设矩阵，则矩阵的秩（）..
2、事实上.3.向量组线性无关，以下()组向量线性无关...因此应选（）.4.向量组线性无关，也线性无关，则满足（）..事实上,而，Page7of709级《线性代数》（A）阶段练习题（二）即.故应选.5.矩阵,为三阶非零矩阵且,则有（）.；.将矩阵按列分块为.当时，可以是1，也可以是2.断言并无依据.当时，.的诸列均为的解，其一、三列线性无关，即有两个线性无关的非零解，当有；又因,又有,因此必有.选.6.齐次线性方程组(为矩阵)仅有零解的充分必要条件是..事实上可能无解.7.齐次线性方程组的基础解系中有()线性无关的解向量..Page7of709级《线性代
3、数》（A）阶段练习题（二）,因此基础解系中有两个线性无关的解向量，选（）.8.设有线性方程组和对应的齐次线性方程组则必有（）..9.已知元线性方程组,系数阵的秩,是方程组线性无关的解，则方程组的通解为().(为任意常数)；.10.由的基到基的过渡矩阵为（）.三、计算题1.矩阵,求矩阵的秩，写出的一个最高阶非零子式..2.给定向量组:.(1)求向量组的秩，并判断该向量组的线性相关性；(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示.3.已知，Page7of709级《线性代数》（A）阶段练习题（二）(1)当为何值时,不能表示为的线性组合；
4、(2)当为何值时,有的唯一线性表达式，写出该表达式.4.设,求一个矩阵，使，且.5.向量组线性无关,试讨论向量组的线性相关性.6.用基础解系表示方程组的通解.7.用对应的齐次方程组的基础解析表示方程组的通解.8.给定线性方程组,当为何值时方程组有解?在有解的情况下,求其全部解.9.当取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解?在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.10.已知的两个基为，求由基到基的过渡矩阵.Page7of709级《线性代数》（A）阶段练习题（二）四、证明题1.设为列满秩矩阵，,证明线性方程与同解.证:若
5、是的解,当有,于是.这说明的解必为的解；若是的解，矩阵列满秩，由定理4的逆否命题)方程组只有零解，即说明的解也是的解，因此线性方程组与同解.2.设为矩阵，证明方程有解的充分必要条件是.证:由于,根据定理6方程有解.3.设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关.证:设,是阶方阵,().题设能由线性表示，由定理6又有()由()和()知，故线性无关.4.设阶矩阵满足为阶单位阵，证明.证:由于,由矩阵的秩的性质6，,而，故有()；另由可得，根据矩阵的秩的性质8，又有().从()和()知有.5.设为阶矩阵，为的伴随矩阵，证明Page7of
6、709级《线性代数》（A）阶段练习题（二）.证:若满秩必非奇，非奇必满秩，因此.若.但中至少有一个非零的阶子式，即中至少有一个非零元，因此().另一方面有由矩阵的秩的性质8，即有().由()和()便知必有.若中任意阶子式均为零，即中所有元素均为零，是个零矩阵.故有.Page7of7
