国际数学奥林匹克试题分类解析—a数论_a4整除

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1、A4整除A4－001证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除．【题说】1901年匈牙利数学奥林匹克题1．【证】容易验证14≡24≡34≡44（mod5）假设n=4k＋r，k是整数，r=0，1，2，3．则Sn=1n＋2n＋3n＋4n≡1r＋2r＋3r＋4r（mod5）由此推出，当r=0时，Sn≡4，而当r=1，2，3时，Sn≡0（mod5）．因此，当且仅当n不能被4整除时，Sn能被5整除．A4－002证明：从n个给定的自然数中，总可以挑选出若干个数（至少一个，也可能是全体），它们的和能被n

2、整除．【题说】1948年匈牙利数学奥林匹克题3．【证】设a1，a2，…，an是给定的n个数．考察和序列：a1，a1＋a2，a1＋a2＋a3，…，a1＋a2＋…＋an．如果所有的和数被n除时余数都不相同，那么必有一个和数被n除时余数为0．此时本题的断言成立．如果在n个和数中，有两个余数相同（被n除时），那么从被加项较多的和数中减去被加项较少的和数，所得的差能被n整除．此时本题的断言也成立．A4－0031．设n为正整数，证明132n－1是168的倍数．2．问：具有那种性质的自然数n，能使1＋2＋3＋…＋n整除1·2·3

3、…·n．【题说】1956年上海市赛高三复赛题1．【解】1．132n－1=（132）n－1，能被132－1，即168整除．2．问题即何时为整数．（1）若n＋1为奇质数，则（n＋1）2（n－1）！（2）若n＋1=2，则（n＋1）

4、2（n－1）！（3）若n＋1为合数，则n＋1=ab其中a≥b＞1．在b=2时，a=n＋1－a≤n－1，所以a

5、（n－1）！，（n＋1）

6、2（n－1）！在b＞2时，2a≤n＋1－a＜n－1，所以2ab

7、（n－1）！更有（n＋1）

8、2（n－1）！综上所述，当n≠p－1（p为奇质数）时，1＋2＋…＋

9、n整除1·2…·n．A4－004证明：如果三个连续自然数的中间一个是自然数的立方，那么它们的乘积能被504整除．【题说】1957年～1958年波兰数学奥林匹克三试题1．【证】设三个连续自然数的乘积为n=（a3－1）a3（a3＋1）．（1）a≡1，2，-3（mod7）时，7

10、a3－1．a≡－1，－2，3（mod7）时，7

11、a3＋1．a≡0（mod7）时，7

12、a3．因此7

13、n．（2）当a为偶数时，a3被8整除；而当a为奇数时，a3－1与a3＋1是两个相邻偶数，其中一个被4整除，因此积被8整除．（3）a≡1，－2，4（m

14、od9）时，9

15、a3－1．a≡－1，2，-4（mod9）时，9

16、a3＋1．a≡0，±3（mod9）时，9

17、a3．因此9

18、n．由于7、8、9互素，所以n被504=7×8×9整除．A4－005设x、y、z是任意两两不等的整数，证明（x－y）5＋（y－z）5＋（z－x）5能被5（y－z）（z－x）（x－y）整除．【题说】1962年全俄数学奥林匹克十年级题3．【证】令x－y=u，y－z=v，则z－x=－（u＋v）．（x－y）5＋（y－z）5＋（z－x）5=u5＋v5－（u＋v）5=5uv（n＋v）（u2＋uv＋v2）而5（

19、y－z）（z－x）（x－y）=－5uv（u＋v）．因此，结论成立，而且除后所得商式为u2＋uv＋v2=x2＋y2＋z2－2xy－2yz－2xz．【别证】也可利用因式定理，分别考虑原式含有因式（x－y），（y－z），（z－x）以及5．A4－006已知自然数a与b互质，证明：a＋b与a2＋b2的最大公约数为1或2．【题说】1963年全俄数学奥林匹克八年级题4．【证】设（a＋b，a2＋b2）=d，则d可以整除（a＋b）2－（a2＋b2）=2ab但由于a、b互质，a的质因数不整除a＋b，所以d与a互质，同理d与b互质．因此

20、d=1或2．A4－007（a）求出所有正整数n使2n－1能被7整除．（b）证明：没有正整数n能使2n＋1被7整除．【题说】第六届（1964年）国际数学奥林匹克题1．本题由捷克斯洛伐克提供．解的关键是找出2n被7除所得的余数的规律．【证】（a）设m是正整数，则23m=（23）m=（7＋1）m=7k＋1（k是正整数）从而23m+1=2·23m=2（7k＋1）=7k1＋223m+2=4·23m=4（7k＋1）=7k2＋4所以当n=3m时，2n－17k；当n=3m＋1时，2n－1=7k1＋1；当n=3m＋2时，2n－1=7

21、k2＋3．因此，当且仅当n是3的倍数时，2n－1能被7整除．（b）由（a）可知，2n＋1被7除，余数只可能是2、3、5．因此，2n＋1总不能被7整除．A4－008设k、m和n为正整数，m＋k＋1是比n＋1大的一个质数，记Cs=s（s＋1）．证明：乘积（Cm+1－Ck）（Cm+2-Ck）…（Cm+n－Ck）能被乘积C1·C2·…·Cn整除．【题说】第九届（19