含参绝对值不等式有解

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1、含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题湖南祁东育贤中学周友良421600湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉例。若不等式

2、－4

3、+

4、3－

5、<的解集为空集，求的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式

6、+

7、≤

8、

9、+

10、

11、，便把问题简化。［解题］解法一(1)当≤0时，不等式的解集是空集。(2)当>

12、0时，先求不等式

13、－4

14、+

15、3－

16、<有解时的取值范围。令－4=0得=4，令3－=0得=3①当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<解不等式组，∴>1②当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1③当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<解不等式，∴>1综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是≤1解法二由

17、－4

18、+

19、3－

20、的最小值为1得当>1时，

21、－4

22、+

23、3－

24、<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。解法三：∵>

25、－4

26、+

27、3－

28、≥

29、－4+3－

30、=1∴当>1时，

31、－

32、4

33、+

34、3－

35、<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。请你试一试1．对任意实数，若不等式

36、+1

37、－

38、－2

39、>恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使

40、+1

41、－

42、－2

43、>对任意实数恒成立，只要

44、+1

45、－

46、－2

47、的最小值大于。因

48、+1

49、的几何意义为数轴上点到－1的距离，

50、－2

51、的几何意义为数轴上点到2的距离，

52、+1

53、－

54、－2

55、的几何意义为数轴上点到

56、－1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求

57、PA

58、－

59、PB

60、>成立∵

61、AB

62、=3，即

63、+1

64、－

65、－2

66、≥－3故当<－3时，原不等式恒成立解法二令=

67、+1

68、－

69、－2

70、，则要使

71、+1

72、－

73、－2

74、>恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可。故<－3满足题意。O-332．对任意实数x，不等式

75、x+1

76、+

77、x-2

78、>a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求

79、x+1

80、+

81、

82、x-2

83、的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：

84、x+1

85、+

86、x-2

87、

88、(x+1)-(x-2)

89、=3，当且仅当(x+1)(x-2)0,即时取等号。故a<3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）3．已知a>0,不等式

90、x-4

91、+

92、x-3

93、

94、x-4

95、+

96、x-3

97、

98、x-4—(x-3)

99、=1当

100、x-4

101、+

102、x-3

103、<

104、a在实数R上非空时，a须大于

105、x-4

106、+

107、x-3

108、的最小值，即a>1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=

109、x-4

110、+

111、x-3

112、=

113、PA

114、+

115、PB

116、

117、PA

118、+

119、PB

120、1恒有y1数按题意只须a>1ABP034x（三）令y=f(x)=

121、x-4

122、+

123、x-3

124、作出其图象由f(x)1y321034x（四）考虑

125、z-4

126、+

127、z-3

128、1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解a>1即为所求（五）可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(

129、-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.当x<3时，得(4-x)+(3-x).有解条件为<3即a>1当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1当x>4时，得(x-4)+(x-3)4即a>1以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.变题：1、若不等式

130、x-4

131、+

132、x-3

133、>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式

134、x-4

135、-

136、x-3

137、

138、x-4

139、-

140、x-3

141、>a在R上恒成立，求a的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定

142、义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设0