13届全国数学联赛

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1、1996年第十三届全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定A．有一组B．有二组C．多于二组D．不存在3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[]4．设x1、x2是二次方程x2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于[]A．-4B．8C．6D．05．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[]A．内心B．外心C．重心D．垂心6．如果20个点将某圆周20等分

2、，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[]A．4个B．8个C．12个D．24个二、填空题（本题满分28分，每小题7分）2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．第二试一、（本题满分20分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男

3、人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．二、（本题满分25分）设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．三、（本题满分25分）已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．1996年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．

4、B2．A3．B4．D5．A6．C二、填空题第二试一、解据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得综上可知，每人捐款数为25元或47元．二、证作AD、BO的延长线相交于G，∵OE三、解据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(-1，0)中，故经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．