高中数学复习专题讲座(第11讲)综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题

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1、题目高中数学复习专题讲座综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题

2、，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点

3、可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属

4、性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识典型题例示范讲解例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,］,都有f(

5、x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n+),求命题意图本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到问题的突破口错解分析不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形技巧与方法由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键(1)解因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)

6、·f(x2),所以f(x)=,　　x∈［0,1］又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2f()=f(+)=f()·f()=［f（）］2又f(1)=a>0∴f()=a,　f()=a(2)证明依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即　f(x)=f(2－x),x∈R又由f(x)是偶函数知　f(－x)=f(x),x∈R大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com∴f(－x)=f(2－x),x∈R将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的

7、一个周期(3)解由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］∵f()=f(n·)=f(+(n－1))=f()·f((n－1)·)=……=f()·f()·……·f()=［f()］n=a∴f()=a又∵f(x)的一个周期是2∴f(2n+)=f(),　∴an=f(2n+)=f()=a因此an=a∴例2甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指

8、出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图本题考查建立函数的模型、不等