例析椭圆的定义在解题中的应用

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1、椭圆的定义在解题中的应用通过研究一类与椭圆定义有关的数学问题，体会椭圆上点与焦点距离的联系与相互转化关系，引导学生思考利用掌握的椭圆定义等相关数学知识探究问题本质，意在引起老师和学生对数学定义的重视，注重概念教学。一：椭圆定义：平面内到两定点的距离和等于常数2a(大于

2、F1F2

3、)的点的集合叫椭圆。其中两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，

4、F1F2

5、叫作椭圆的焦距.说明：1、椭圆定义体现了椭圆上任一点与两个焦点距离间的密切联系，在变化中存在一个等量关系，这种‘距离的动’与‘和的静’结合的数学之美将会在今天的学习中逐步体味。2、椭圆定义中包括的定点，定量等多方面联系，利用这种联系可以将椭

6、圆上任一点到两定点的距离有机联系在一起，可将其中一个数量转化为另外一个量研究。二：思维拓展类型一：由定义求轨迹（方程）应用定义求方程是求曲线方程的一种重要方法，它是在根据题意判断出已知曲线形状的情况下确定量的关系进而得出方程的形式，需要注意在求出方程后验证是否有不符合条件的点存在例1：已知⊙O1：，⊙O2：动圆P与⊙O1内切，与点⊙O2外切，求动圆圆心P的轨迹方程？解：（分析：充分利用题目中的内切和外切的条件，挖掘动点与两定点的等量关系）设圆P的半径为r,由条件知P在以为o1,o2焦点的椭圆上巩固提高：已知圆B:及点,C为圆B上任一点,求AC的垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程.

7、（几何画板演示）类型二：焦点三角形的应用焦点三角形的应用是椭圆定义的集中体现，围绕焦点三角形的面积、周长、焦半径、椭圆离心率等试题相对较多，教学时应引起重视，并能重视知识间的内在联系，如余弦定理、均值定理的应用。1、焦点三角形的面积：例2：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中:求证：。证明：2、顶角()的变化情况例3：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：命题得证。注：该题若改变数值使的最大值为钝角，则可得4点，亦可变条件为，则在上可得到更多满足条件的点。（亦可转化以中心为圆心，以c为半径的圆与椭圆的交点个数）3、参数的取值范围问题例4、F1、F

8、2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。（利用例3的结论即可）变式训练：设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。类型三：最值中的应用例4.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。练习：已知椭圆内有一点P（1，-1），

9、F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求

10、MP

11、+

12、MF

13、的最小值。说明：定义是解决问题的关键，在实际教学中大多忽视了定义概念的理解把握，形成了重结果、轻过程的现象。这对学生深刻的理解领会问题造成一定障碍，无助于学生的自主探究、创新能力发展，也有悖于新课标的要求。圆锥曲线的定义在本部分中尤为重要，本节内容从椭圆定义出发通过定义求方程，通过焦点三角形求面积等深化了概念的理解，沟通了知识间的联系，使知识进一步系统。