华工大新生入学考试试卷与解答2009

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1、华南理工大学2009级新生入学数学试卷2009.9.9晚上一、填空题(每题4分,共40分)1、除以100的余数是2、函数的最大值为3、设(其中),则使的取值范围是4、学校开设9门课程供学生选修,其中A、B、C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学必须选修4门。问共有种不同的选修方案(用数值作答)5、如图(略),在中,是边上的一点,且,则6、设都是复数,且,则的值是7、某公司用60万元资金计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不少于对项目乙的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元。对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项

2、目乙甲每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为万元8、设一元二次方程,其中系数分别是将以匀称色子接连投掷两次先后出现的点数,则方程有重根的概率为9、已知六棱锥的高为,底面积是全面积的四分之一,则与的函数关系式10、设是抛物线上长为2的动弦,则线段中点的轨迹方程是二、解答题(每题10分,共60分)11、设函数的最大值为。试问:随的变化,作怎样的变化?在以为横坐标,为纵坐标的直觉坐标系中画出反映这种变化的图像解设,则4当时,,则当时,有,则当,即时,当,即时,当,即时,故(图略)12解关于实数的不等

3、式。其中是大于零的常数。解同解不等式组为:或因为,可化简为或当时或当时或综上所述,当时解集为,当时解集为13正方形ABCD的边长为4,E、F分别是的中点AB、AD,作GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点到平面的距离。解如图所示(略),连接EG、FG、EF、AC、BD,设EF、BD分别交AC于H、O。由题设可知:EF//BD,H为AO的中点,BD//平面EFG,求BD与平面EFG的距离即可,又平面,可知平面,从而平面平面,HG是两垂直平面的交线作交于点K,平面,OK的长即为所求的距离由可知:414已知直线交曲线于两点,是这直线上的点,

4、且。求当变化时,点的轨迹方程,并指出它是什么图形。解由消去得方程方程要有两个不等的实根,有判别式可得该方程的两根是点A、B的横坐标,设为设由已知条件,有即利用韦达定理,上式可写为将代入上式消去,可得化简得及即及从而,当变化时,点的轨迹为椭圆在两直线之间的部分,及点。5、设数列满足。(1)求数列的通项;(2)求解由,令,则有将上式变形转化为一阶递推:依次有4故从而,6、在中,已知。证明:(1)成等比数列;(2)成等比数列证(1)在中,,可得由已知条件得从而,即,,因此故,成等比数列;(2),因此成等比数列4

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