开拓杯---微积分 2

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1、序号：          编码：           重庆理工大学第二十一届“开拓杯”学生课外学术科技作品竞赛参赛作品    作品名称：微积分难题畅谈     作品类别：              A               类别：A自然科学类学术论文                  B科技发明制作C哲学社会科学类学术论文与社会调查报告   微积分难题畅谈论文类别：A，自然科学学术类贺轩陈龙曾长明摘要:畅谈一些典型的微积分疑难题，深入理解微积分，建立数学思维。通过采取随机调查学生对学习微积分状况以及查阅书籍。发现学生对微积分学习

2、存在很多问题，没有形成微积分知识体系。微积分是高等数学学习的主要部分，要注重学习方法，提高学习效率。不仅要学好，更要用微积分解决实际问题。关键词：微积分；调查研究；疑难解析；如何应用一、微积分的发展与内容微积分正是由于17世纪科学技术的发展需要而产生与发展起来的，它是17世纪自然科学中最重大的发现之一，它开创了数学发展的新纪元，同时对整个自然科学产生了无可估量的影响。微积分主要包括一元函数与多元函数的概念及其性质，一元函数的极限及其计算；一元函数的导数、微分的概念及计算；导数与微分的应用；一元函数的不定积分、定积分、广义积分的概念、性

3、质及其计算；定积分的应用；多元函数部分主要是二元函数的偏导数的概念及其计算，二元函数的重积分概念及其计算；二重积分的简单应用；一阶、二阶常微分方程的求解以及微分方程的应用。要求学生掌握微积分的基础知识和基本理论，具有较高的计算能力和独立分析解决有关数学问题的能力。二、调查分析我们通过调查学生学习微积分情况，进行了一次数据统计，共调查了150人。调查情况主要分为“微积分非常难，根本不懂”“只会做一些简单的题，不理解微积分的真正含义”“能熟练解决微积分问题，理解微积分一些基本的含义”“能用微积分解决实际问题”这四点。以下是处理后的统计表格

4、。通过调查做出此图表，从图表可直观看出微积分的学习情况。大多学生对微积分只是简单了解，能解决一些简单的微积分问题。随着年级升高，对微积分学习有所提升，逐渐的能用微积分解决实际问题。（调查数据较少，可能存在较大误差）三、难题解析例1.求解积分方程解：在区域0≤x≤1,0≤t≤1内,

5、xt

6、≤1,所以，满足条件

7、λ

8、＜，因此方程的解为….而，…，因此….说明：对某些积分方程，可利用迭核求出解，进而可求出积分方程的解来，巧用逐次逼近法可以用来证明一些积分方程解得存在性。例2.求解说明：=.开根号后要注意cosx的正负问题，不同积分区域结果不

9、同，巧妙采用分段积分，这种方法在求积分时十分常用。例3.计算摆线，的一拱与所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为绕y轴旋转而成的体积为说明：注意的计算，-(利用“偶倍奇零”)（分部积分）（）柱面面积柱壳体积（2v和sin2v为奇函数为偶函数）用积分求积是一种很常见的题目，包括二重积分求曲顶柱体体积，三重积分求某区域体积等。例4．求解:原式说明：注意本题的解题技巧，按常规方法解答比较繁琐，所以解题要把握技巧，注重方法。按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定

10、A,B,C,D.第三步分项积分.例5．试证至少存在一点得分析:即故作辅助函数证明：令在上连续,在故由罗尔定理知,至少存在一点使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.说明：本题能用柯西中值定理证明，设辅助函数例6．证明，并求其值.解：令=说明：本题考虑了反常积分的问题。.反常积分为分积分区间无限和被积函数无界两种。注意两个重要的反常积分有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.四、微积分的应用1元素法所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(

11、x)有关的一个整体量;U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”表示为定积分定义第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的近似值微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的精确值积分表达式这种分析方法成为元素法(或微元分析法)2几何学应用2.1求平面图形的面积在直角坐标系中,曲线y=f(x)及直线x=a,x=b(a

12、积为V=.2.3平面曲线的弧长光滑曲线则弧长为s=.2.4空间曲线的切线与法平面空间曲线方程x=、y=、z=,t.这三个函数在可导，且导数不同时为零。则切线方程为法平面方程为3.物理学上的运用3.1变力沿直线所作的功设物