分式函数值域求法分类导析

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1、分式函数值域求法分类导析求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法．首先我们给出分式函数的定义：形如的函数叫做分式函数，其中、是既约整式且的次数不低于一次．下面就、的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．1、一次分式函数：（1）定义：、的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如的函数．（2）求法：一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成，由于，则，解出y的取值范围，即函数f(x

2、)的值域．例1、求函数，的值域．解：改写成，因为，所以，解得，即原函数的值域是．２、二次分式函数：（1）定义：、至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如不全为零的函数．（2）解法：若A=，则可采用根的判别式法求值域．第4页共4页例2、求函数的值域．解：化为关于x的方程．若，则方程无解，即．因为，所以，解得，即原函数的值域是（）。若A，则再分类讨论。2.1．（1）定义：形如，且的函数．（2）解法：先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数的值域．例3、求函数的值域．解：令，则，所以函数的值域是．2.2．（1

3、）定义：形如，且(*)或，且的分式函数．（2）解法：下面就形式(*)讨论解法．2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以x，得＝．只要讨论函数且的值域．不妨设．若，则函数在和上分别是增函数；若，则函数在和上分别是减函数，在和第4页共4页上分别是增函数．这样利用函数的单调性，先求出的值域，从而求出函数的值域．例4、求函数的值域．解：．令，则，所以函数的值域是．2.2.2．若，则换元，令，转化为２.２.1．形式的分式函数．例5、求函数的值域．解：令，则．因为，所以函数的值域是．2.3．（1）定义：形如且的分式函数．（2）解法：2.3.1．若或，则分子分

4、母同除以，转化为求关于的二次函数的值域，从而求出函数的值域．例6、求函数的值域．解：．因为函数的值域是，所以函数的值域是．2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设且，则可令，转化为2.3.1形式的分式函数．第4页共4页例7、求函数的值域．解：令，则．因为，所以函数的值域是．2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即：，转化为2.2形式的分式函数．例8、求函数的值域．解：，所以函数的值域是．第4页共4页