数学物理方程与特殊函数第二、三章作业

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1、习题2.14.一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。解：由题意可知定解问题为：习题2.23.设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u4，即dQ=ku4dSdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数。试写出边界条件。解：由题意可知：∴边界条件为：习题2.34.由静电场Gauss定理，求证：，并由此导出静电势u所满足的Poisson方程。证明：由题意可知由静电场高斯定理：∴习题2.42.(1)解：由题意可知：△=12－1×(-3)=4﹥0=>双曲型=>或-1

2、令则=>∴(5)解：由题意可知：△=82－16×3=16﹥0=>双曲型=>或令则=>∴习题2.52.试证明：若是定解问题的解，则是定解问题的解。证明：由题意可知：其次，因是齐次定解问题的解，因此，∴是定解问题的解。习题2.61.(3)证明公式：证明：由题意可知：且∴习题3.13.(4)解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令）a)当时，方程的通解为X(x)=Ax+B.（A、B为任意常数）代入边界条件得X(0)=B=0[X´(L)+hX(L)]=A+h(AL+B)=0=>(1+hL)A=0b)当时，方程的通解为.（A、B为任意常数）代入边界条件得X(0)=A=0=>=>∴边值问题的固有值为的正根

3、。相应的固有函数为7.一根长为L的杆，一端固定，另一端受力F0而被拉长。求杆在去掉F0时的振动。设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。解：由题意可知定解问题为：=>=>当时，边值问题只有零解。当时，X(x)=Ax+B.当A=0，B≠0时，方程满足条件。当时，.（A、B为任意常数）代入边值条件得：X(0)=A=0，=>(n=0,1,2··)则固有值为，相应固有函数为（Bn为任意非零常数）∴(n=0,1,2··)代入初始条件为：=>∴(n=0,1,2··)习题3.22.一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为。求细杆上的温度变化的规律。其定解问题为：解：由题意可知定解问题的固有值问题为：=

4、>当时，边值问题只有零解。当时，X(x)=Ax+B.当A=0，B=0时，边值问题只有零解。当时，.（A、B为任意常数）代入边值条件得：，=>(n=0,1,2··)∴固有值为，相应固有函数为（An为任意非零常数）又∴，习题3.34.求解圆域内Laplace方程Neumann问题：解：由题意可知Laplace方程一般解为：其中为任意常数，（n=1,2，··）习题3.42.一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为求方形膜振动的固有频率。解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：∴相应的方形膜振动的固有频率习题3

5、.52.求解定解问题：其中，T0是常数。解：由题意可知定解问题的边值问题为：解得：令，代入原定解问题，得：得：其中∴6.求解定解问题：解：由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：固有值为，相应固有函数为（An为任意非零常数，n=1,2···）则代入波动方程，并将A按xn展开，得：则比较可得：∴∴原定解问题解为：习题3.61.求解定解问题：其中，b和u0是常数。解：由题意可知：由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。令代入波动方程得：为使方程与边界条件同时齐次化，需满足：∴定解问题为：解得：所以5.求解定解问题：其中，g和E是常数。解：由题意可知：另代入波动方程得为使方程与边界

6、同时齐次化，X(x)需满足：的定解问题为：由分离变量法解得：∴