重庆市巴蜀中学2018届高三上学期第五次月考数学（理）试题含Word版含解析.doc

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高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（五）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，得，，则.故选B.2.设，则（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为，所以.故选B.3.平面向量满足，，，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C4.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率等于（）A.B.C.D.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【答案】A【解析】因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，即，则双曲线的离心率.故选A.5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”.弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））.若直角三角形的两条直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，在该“数学风车”内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】在中，设，设小正方形的边长为，由全等直角三角形得，即，则小正方形的面积为，“数学风车”的面积为，即，由几何概型的概率公式，得在该“数学风车”内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.故选C.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家6.某商场失窃，四个保安因涉嫌而被传讯.四人的供述如下：甲：我们四人都没有作案.乙：我们中有人作案.丙：乙和丁至少有一人没有作案.丁：我没有作案.如果四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话，则以下哪项断定成立（）A.说假话的是乙和丁B.说假话的是乙和丙C.说假话的是甲和丙D.说假话的是甲和丁【答案】D【解析】若说假话的是乙和丁，即“我们中没有人作案”与“我作案了”相矛盾，故排除选项A，说假话的是乙和丙，即“我们中没有人作案”与甲所说“我们四人都没有作案”、丁所说“我没有作案”相符，则丙所说“乙和丁至少有一人没有作案”也为真话，与丙说假话矛盾，故排除选项B；若说假话的是甲和丙，则乙所说“我们中有人作案”为真话，但无法判定丁所说“我没有作案”的真假，故排除选项C；若说假话的是甲和丁，即丁作的案，则乙所说为真话，丙所说“乙和丁至少有一人没有作案”也为真话，即选项D正确.故选D.7.已知，则函数在上的值域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，因为，所以，则，所以，即函数在上的值域是.故选B.点睛：本题考查三角恒等变换、三角函数在给定区间上的值域；求与三角函数有关的值域或最值问题，主要有以下题型，要注意总结：(1)利用三角恒等变换化成求在上的值域问题；(2)利用三角恒等变换化成求在给定区间上的值域问题；(3)化为的值域问题，即关于的一元二次函数型.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家8.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为3，则输入的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由程序框图，得，，，因为输出的值为3，所以，即，解得.故选C.9.某天上午的课程表要排入语文、数学、英语和两节自习共5节课，如果第1节不排数学，且语文和英语不相邻，那么不同的排课表的方法有（）种.A.24B.48C.30D.60【答案】C【解析】先将数学和两节自习进行排列，留有4个空安排语文和英语，有中不同排法，其中数学排在第一节的有种不同排法，即不同的排课表的方法有种不同排法.故选C.10.已知是上的偶函数，且在上单调递减，设，，，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】C-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【解析】因为是上的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，因为，且，，则，即，则，即.故选C.点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性和对数的大小比较；本题的难点是如何比较和的大小，因为这两个数都在上，与平常的中间值（1,0，）不同，所以要进一步缩小的范围.11.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有2条，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】显然，当直线不存在斜率且时，满足条件的直线有两条，当直线斜率存在时，设斜率为，设，则，则，则，得，因为直线与圆相切，所以，即，即点的轨迹是直线，将代入，得，所以且.因为点在圆上，所以，则，若还有满足条件的直线，则，因为满足条件的直线只有两条，所以或.故选D.12.已知函数，过点作函数的两条切线，切点分别为，下列关于直线斜率的正负，说法正确的是（）A.B.C.D.不确定【答案】A-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【解析】因为，所以，设切点分别为，则在处的切线方程为，即，因为该切线过点，所以，即，且，即，同理，，且，即，则，下面判定的符号：令，则，，则在上单调递减，在上单调递增，，，若，则，令，，即在上单调递减，且，则，即，则，即，即.故选A.点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的不同，“曲线在某点处的切线”，即该点一定在曲线上且是切点，但“过某点的切线”则该点不一定在曲线上，也不一定是切点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式展开式中的常数项是__________．-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【答案】5【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.14.设数列的前项和为，若，则__________．【答案】31【解析】令，则，则，当时，由，得，两式相减，得,，即，即数列是以1为首项、公比为2的等比数列，则.点睛：本题考查利用数列的和的关系进行求解；利用的和的关系进行求解时，要注意是一个分段函数，一定要注意验证当时的项是否满足第二段的通项，若满足，写成一个解析式，否则写成分段函数.15.设实数满足约束条件的最小值是__________．【答案】【解析】作出可行域（如图所示），表示可行域中的动点到原点的距离的平方，由图象，得，即的最小值是.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家点睛：本题考查二元一次不等式组和平面区域、非线性目标函数的最优解；利用可行域求非线性目标函数的最优解涉及的目标函数主要有以下几种：(1)形如或型，即求可行域内的点到的距离或距离的平方；(2)形如型，即求过可行域内的点和的直线的斜率.16.在四边形中，，，，则四边形的面积的最大值是__________．【答案】【解析】设，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，即,即，又四边形的面积，即，联立，得，即，当，即时，取得最大值12，即，解得，即四边形的面积的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在等差数列中，设前项和为，满足且，在数列中，满足，且数列为等比数列.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)..(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于等差数列的首项和公差的方程组求出等差数列的通项公式即可，再利用等比数列的通项公式求解；（Ⅱ）利用错位相减法进行求和.试题解析：（Ⅰ）因为在等差数列中，，，-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家所以解得所以.又∵，，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，，∴，∴.点睛：本题考查等差数列、等比数列及错位相减法求和；错位相减法是一种重要的求和方法，其适用题型是求的前项和（其中数列为等差数列，为等比数列），求和方法是等式两边同乘以等比数列的公比，对齐相减，转化为部分项成等比数列进行求和.18.如图，在正三棱柱中，所有棱长均为2，设交于点，点为线段的中点.（Ⅰ）证明：；-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析吧；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的“三线合一”与正方形的对角线垂直得到线线垂直，进而利用线面垂直的判定定理和性质进行证明（Ⅱ）利用垂直关系建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和直线的方向向量，进而求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：如图，连接，则由点为线段的中点可知，故为等腰三角形，而为底边的中点，故，由于正三棱柱的所有棱长都相等，故四边形为正方形，故，因为，，所以平面，所以.（Ⅱ）以点为原点，直线为坐标轴建立如图所示的空间坐标系，此时，，，，，，设平面的法向量为，由可得：-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家可取，，，故，同理，平面的法向量为，.19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转。统计显示，2011年之前，方便面销量在中国连续18年保持两位数增长，2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如下表.相较于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.（Ⅰ）根据上表，求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测2017年（）方便面在中国的年销量；（Ⅱ）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生了怎样的转变？某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面；3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历.现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，参考数据：.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【答案】(Ⅰ)，356；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用表格中的数据，求出相关变量的中心点，利用最小二乘法进行求解；（Ⅱ）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出每个变量的概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解.试题解析：（Ⅰ），，，，，所以，当时，.（Ⅱ）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，的可能值为0,1,2,3，所以，，，，，.20.已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于两点，再过点作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析...................试题解析：（Ⅰ）由题意得解得，，所以椭圆的方程为：.（Ⅱ）直线的斜率显然存在，不妨设直线的方程为，即，联立方程得，设，，，当时，，，则的方程为，①与椭圆联立得，则，所以，-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家代入①得.直线的方程为：，联立，.，，所以，，直线与直线交于定点.点睛：本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系；直线和圆锥曲线的位置问题往往运算量较大，熟记一些结论可减小运算量，若椭圆或双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的直线被椭圆或双曲线截得的线段）长度为，抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段）长度为.21.已知函数.（Ⅰ）若和2是函数的两个极值点，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，则方程在内有解，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用求得的值，再利用导数的几何意义求出切线方程；（Ⅱ）先利用求得，再合理分离构造函数，再利用导数研究函数的单调性和极值，进而研究零点的个数.试题解析：（Ⅰ），由题意，解得-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家此时，，，，切点为，所以切线方程.（Ⅱ），，①，，令，则在内有零点.设为在内的一个零点，则由，知在区间和上不可能单调递增，也不可能单调递减.设，则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，，，当时，，在区间上递增，不可能有两个及以上零点；当时，，在区间上递减，不可能有两个及以上零点；当时，令，得，∴在区间上递减，在上递增，在区间上存在最小值，若有两个零点，则有，，，.设，，则，令，得，当时，，递增，当时，，递减，，-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家∴恒成立，由，，得，当时，设的两个零点为，则在上递增，在上递减，在上递增，∴，，所以在内有零点，综上，实数的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.已知在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与交于两点，与交于两点.（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式得到直线的直角坐标方程，利用直线和圆相交的弦长公式和三角形的面积公式进行求解；（Ⅱ）先求得圆的极坐标方程，再利用三角恒等变换和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）将的方程化为普通方程得，时，直线的方程为，到直线的距离，，.（Ⅱ）的方程分别为，∴原式.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家∵，∴最小值为，当，时取到等号.23.已知函数的最小值为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，正实数满足，求证：.【答案】(Ⅰ)-1；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法得到分段函数的解析式，利用每段上的单调性和最值进行求解；（Ⅱ）利用进行证明.试题解析：（Ⅰ）因为所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以当时，实数.（Ⅱ），因为正数满足，所以，，当且仅当时取等号.-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家-18-www.ks5u.com版权所有@高考资源网