玻色-爱因斯坦凝结[1]

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1、玻色-爱因斯坦凝结[1]教案讨论Bose-Einstein凝结内容：1．凝结2．理论3．实验要点：1．物理上，说明产生凝结的原因是：(1)波粒二象性引起的聚集效应；(2)低能状态的稀少。2.数学上，分析“相对粒子数”和化学势随温度的变化。3.方法上，用图形帮助说明公式。1Bose-Einstein凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003.8）1.凝结1.1热力学极限在边长为L的立方容器（体积V=L3）中，装有N个粒子，密度为ρ=N．无外场作用时，空间分析均匀，ρ是常数．对宏观体系，N极大，N~1023，可取热力学极限：N→∞，V→∞，但保持密度ρ不变．见图1.1．粒子的动量为

2、p，自由粒子的动能为ε(p)=2pm2．pppzpdpyx图1.1图1.21.2动量空间粒子的状态由动量p(px,py,pz)表述．在动量空间中，每个状态对应于一点．见图1.2．波粒二象性要求动量量子化：pi=nih，ni=0,±1,±2,K，i=1,2,3．(1.1)L能量最低的状态是p=0，零动量是基态．动量间隔为Δpi=Lh，L→∞．(1.2)对三维体系，动量空间中，每个状态占据的体积是Δv=...Lh...3=hV3．(1.3)由图1.2可知，在动量空间中，厚度为的球壳层中的状态数目是1．凝结dn=4π.pvdp(hL224pdπ=)3p，(1.4)所以，动量空间

3、的态密度是dn4πp2VD(p)=dp=h3．(1.5)无外场时，粒子在坐标空间中的分布是均匀的．但是，在动量空间中，因为ε(p)=2pm2，动量大的粒子具有较高能量．在温度为T的平衡态下，能量愈高，出现的几率愈小．因而，在动量空间中，粒子数按动量的分布ap是不均匀的，动量愈大，粒子数ap愈少．1.3经典分布平衡态的统计理论已求得分布几率，对于经典统计（Boltzmann分布），.ε(p)ap=AekT，(1.6)其中A是归一化常数，由总粒子数N确定：Σap=N．(1.7)p如果将A用另一个参数μ表示成A≡eμkT，则(1.6)式可写成ap=e.[ε(p).μ]kT．(1

4、.8)μ称为“化学势”，也由(1.7)式确定，此时可写成μkTε(p)eΣe.kT=N．(1.9)p将对p的求和变为积分，即Σp→hV3∫dp，(1.9)式变为eμkT∫e.εkTVdh3()pp=N，或μekT=∫e.εh(3pρ)kTdp．(1.10)这说明μ是温度T和密度ρ的函数，与N和V无直接关系．在热力学极限过程中，μ不变．Bose-Einstein凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003.8）由此可知，虽然N→∞，但每个状态上的粒子数ap并不变．这是因为，在热力学极限下，L→∞，Δp=hL减少，状态数目在增加，这导致N→∞．T1T2

5、apa0(T2)1a0(T1)Tp图1.3图1.4经典分布(1.8)式如图1.3所示，具有下述特点：(1)在任何温度T（T>0K）下，任何状态p上的粒子数目ap都是有限的，具有零动量的粒子数a0=eμkT也是有限的．(2)当温度固定时，取热力学极限，即在保持密度ρ不变的条件下（此时μ不会改变），让N→∞．由于μ不变，a0则不变．相对于总粒子数N，零动量上粒子数的比例为A0≡a0N，可称为“相对粒子数”．因此在热力学极限下，相对粒子数A0=a0→0．(1.11)N(3)当温度降低时，比较图1.3中的两条曲线（T2

6、限的数目．因而无论温度T（T>0K）如何降低，零动量上的相对粒子数A0总是零．此特征如图1.4所示．结论：对于经典统计，当温度变化时，零动量上相对粒子数A0(T)总是零，没有变化，因而无相变．只有当T→0时，经典粒子全部停止运动，此时A0(0)=1．相变只在绝对零度上发生，无实际意义．1．凝结1.4化学势μ随温度的变化（经典统计）μ由总粒子数为N的条件(1.9)式确定．此式可写成Σe.[ε(p).μ]kT=N．(1.12)p根据此式，不难证明，当T降低时，μ将增加：观察(1.12)式左边的指数[ε(p).μ]kT，当T降低时，分母变小．为了使求和保持为N，分子ε(p).μ

7、也得相应地变小，由于ε(p)不随T而变，只能是μ变大．设μ=0对应的温度为T0，它由下式确定：ε(p)0Σe.kT=N．(1.13)p因此，μ(T)随T的变化如图1.5所示．μ(T)A0(T)1T0TTTc图1.5图1.61.5B-E分布量子体系与经典体系的差别在于全同粒子是否可以分辨．当交换两个相同粒子时，经典统计认为是不同的状态，量子统计认为是同一状态．由于此种差别，对于Bose粒子，其统计分布变为ap=[ε(p).μ1]kT.1，(1.14)e与经典分布(1.14)式的差别只是在分母上多了一项.1，若略去此项，(1.14