浅谈导数及应用毕业论文

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1、浅谈导数及应用毕业论文摘要：导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,也是研究函数的性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数的应用，谈一点个人的感悟和体会。关键词：导数极限应用函数不等式一、导数的概念及运算1．导数的概念：设函数y=f(x)在处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数

2、，记作；2．导数的几何意义：函数y=f(x)在处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率，即斜率为过点P的切线方程为：.3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间内的每点处都有导数，即对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间内可导.4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续.5.依定义求导数的方法：13（1）求函数的改变量（2）求平均变

3、化率（3）取极限，得导数＝6．几种常见函数的导数：(C为常数)；()；；；；；；。7．导数的四则运算法则：；；；8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或=f′(u)′(x).9.求导数的方法:(1)求导公式(2)导数的四则运算法则(3)复合函数的求导公式(4)导数定义10.导数的概念及运算的相关例题例1（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=

4、3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数　解：（1），13　　，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1　　（2）　　　　注：切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.例2若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则为奇函数.

5、分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求，然后判断其奇偶性.（1）解:设f（－x）=g（x）,则===－=－∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.（2）证明:===－=－∴为奇函数.注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.13例3已知函数，数列的第一项，以后各项按照如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图）。求证：当n时：（I）；（II）证明：（I）∵∴曲线在处的切线斜率∵过和两

6、点的直线斜率是∴.（II）∵函数当时单调递增，而，∴，即因此又∵令则∵∴因此故例4.已知一个函数的图像过点P（0，2），并且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；13（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）由的图像经过P（0，2），知d=2，所以,.由在处的切线方程是，知.故所求的解析式是.（Ⅱ）,解得当当故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．例5证明过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

7、解：，，即，，即.设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则，，故tan=tanβ.又、β是锐角，则=β.二、导数的应用1.以导数概念为载体处理函数图像问题函数图像13直观地反映了两个变量之间的变化规律，由于受作图的局限性，这种规律的揭示有时往往不尽人意.导数概念的建立拓展了应用图像解题的空间。例1设函数的图像为C1，函数的图像为C2，已知在C1与C2的一个交点的切线互相垂直.（1）求，之间的关系；（2）若＞0，＞0，求的最大值.分析由导数的几何意义以及两切线的位置关系即可求出，的关系，求的最大值可借助不等式

8、求解.解析（1）对于C1：，有，对于C2：有，设C1与C2的一个交点为（），由题意知过交点（）的两条切线互相垂直，∴即①又点（）在C1与C2上，故有②由①②消去可得，（2）由于＞0，＞0且，所以≤，当且仅当时，取等号，即的最大值为.本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键，即某一点的导数值，即为该点的切线斜率.2．以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供