第 48 讲 多面体、欧拉公式与球

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1、第48讲多面体、欧拉公式与球（第课时）神经网络准确记忆！多面体、欧拉公式与球重点难点好好把握！重点：1．多面体、正多面体的概念；2．欧拉公式；3．球的概念和性质。难点：1．球的性质及应用；2．有关球的组合体。考纲要求注意紧扣！1．了解多面体、正多面体的概念；2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球的性质4.掌握球的表面积、体积公式。命题预测仅供参考！1．有关多面体、正多面体以及欧拉公式不会太难；2．有关球的考查一般以小题出现。考点热点一定掌握！1．多面体由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面

2、内的两个顶点间的线段叫对角线。有个面的多面体叫面体（）。凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。2．欧拉公式对于简单多面体，有：顶点数（V）+面数(F)-棱数（E）=2。例．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n等于（）.4；.5；.6；.7。分析：先计算正n面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。解：由题意有，，则，故选。例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的

3、两种晶面的数目。解设：三角形晶面有x个，八边形晶面有y个。3．正多面体⑴定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。⑵类型及性质名称面的形状每个顶点的棱顶点数（V）面数（F)棱数(E)正四面体正三角形3446正六面体正方形38612正八面体正三角形46812正十二面体正五边形3201230正二十面体正三角形51220304．球⑴定义①球面:半圆绕它的直径旋转一周所生成的曲面叫做球面。②球:球面围成的几何体叫球。③球面距离：经过球面两点的大圆在这两点间的劣弧的长叫做这两点的球面距离。⑵性质①球的任意截面都是圆。其中过球心的截面叫大

4、圆，不过球心的截面叫小圆。②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且球心到截面的距离，其中是球半径，是截面半径。⑶面积公式球面的面积：等于球的大圆面积的4倍，即，其中是球半径。⑷体积公式球的体积：等于三分之四乘以，即，其中是球半径。⑸球的直观图的画法①如图，画三条坐标轴、、；②在水平面内，以为圆心，画半径为的大圆的直观图；再以为圆心，画半径为的大圆的正面图。例．地球半径为R，、两地都在北纬45º的球面上，他们的经度相差90º，求、两地球面距离。。例．过球面上一点M作互相垂直的三条弦MA，MB，MC；设球的半径为R，求证：MA2+MB2+MC2=4R2。分析：由于MA、MB、MC互相垂直，

5、作图时可考虑经过其中两条（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圆的直径，MA与该截面垂直。证明：如图，设球半径为R，连结BC，过MB和MC的球的截面为小圆H，由MB⊥MC，有BC为圆H的直径，连结MH，并延长与球面交于点N，连结AN，设AN的中点为O，连OH，则OH∥AM，∵AM⊥MB，AM⊥MC， ∴AM⊥面MBC，AM⊥MN，∴OH⊥面MBC，O为球心，AN为球的直径 ，∴MA2+MB2+MC2=MA2+MN2=AN2=(2R)2=4R2，点评：本题还可以看成是球的内接长方体的从一个顶点出发的三条棱与对角线长度之间的关系，用长方体的知识来处理比较简单。5．球与其他几何体形成的组合

6、体问题例．直径20cm的球，在上面钻一个直径为12cm的圆柱形的穿通孔，这个圆柱的轴合于球的直径，求这个有孔球的表面积。分析：这个有孔球的表面积应该等于球面积减去两个球冠面积再加上圆柱的侧面积，计算结果为512。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！LJ0205-09多面体和球12345678910多面体多面体凸多面体简单多面体正多面体欧拉公式√球球面距离√球性质√√球面积√球体积√球的截面√√球组合体√√√1.若两球表面积之比为1:2，则其半径之比是（ ） A．1:2       B．1:4       C．1:      D．1:2答案：C2．下列说法错误的是（ ） A．M到定点的

7、距离等于定长的点的集合是球面 B．以圆的直径为轴，旋转半周所成的曲面叫球面 C．过球面上的两个不同点，只能作一个大圆 D．两点间的球面距离是大圆的一段劣弧长答案：C3．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为（ ） A．4      B．3      C．2.5      D．2答案：B4（1998年高考文科题）.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（