匹配问题及其应用

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1、第四章匹配问题及其应用一、匹配理论概念及基本性质（1）定义：1、设M是图G的边子集，称M是G中的一个匹配，若M中任二边在G中不相邻；M中的每条边的两个端点称为在M中相配；M中每边的端点称为被M许配；称M为G的一个完全匹配，若G中每个顶点皆被M许配；称G的最大匹配，若对任意的G的匹配，均有。2、权数：对于匹配M，它的权数为。3、称M为最优匹配，若M为所有匹配中权数最大的匹配。4、称P为关于匹配M的可扩路：设M是图G的一个匹配，若路P的边在M中交替出现，且P的两个端点是M不饱和的。5、称B是G的一个覆盖集：设，若G的每条边皆与B中的顶相关联。6、称B

2、是G的极小覆盖：设，若B是G的一个覆盖集，但，不再是G的覆盖集。7、称B为G的最小覆盖：设，若B是G的顶数最小的覆盖集。8、G的覆盖数：最小覆盖中顶的数目，记作。9、AB为A与B的对称差：AB=，其中A、B为集合，有时也写成。（2）基本性质：1、M是图G中的一个最大匹配当且仅当G中无M的可扩路。2、设G是二分图，顶集的二分图划分为X与Y，满足①；②；③X中的任两点不相邻，Y中亦然；④，记；则存在把X中点皆许配的匹配的充要条件是，，其中是S中每个点的邻点组成的所谓S的邻集。求G的最大匹配M的算法：Step1：任取G的匹配M；Step2：若，则M为G

3、的最大匹配，算法终止；若不存在M的可扩路，则M为G的最大匹配，算法终止。否则转到Step3；Step3：取M的可扩路P，作。Eg：求图G的最大匹配。路P：123456作===Step1：取取①上一边在M中交叉出现②、都是M不饱和的是关于M的可扩路。作=Step2：对于，也是可扩路。作==Step3：对于,也是可扩路。作==3、k次正则2分图有完备匹配，k>0。4、若G为二分图，则其最大匹配的边数为。5、图G有完备匹配当且仅当，，其中是中奇数个顶的连通片的个数。6、无桥三次正则图有完备匹配（所谓桥是一条边，使得的连通片增加）。7、设是具有正常顶标l

4、的加权图，取G的边子集令是以为边集的G的生成子图，如果有完备匹配M，则M即为G的最佳匹配。8、是可以1因子分解的，。9、存在每个因子皆生成圈的2因子分解，共计n个生成圈。二、匹配问题的应用图论中涉及的匹配问题无论是在实际生活中还是在学习工作中都有着极其广泛的应用。应用一：回顾这一章开头提出的毕业生应聘问题，设n名毕业生为，m家招聘公司为。我们造一个二分图G，，X、Y是G的二分图顶划分，其中，，仅当可以接受的公司为之间连一条边，如此构成一个应聘图G。我们欲给出一个有效算法，求得上述二分图G中的最大匹配。与此问题相似的问题很多，例如某城市有n名姑娘，

5、m名小伙子都到了结婚的年龄，其中一些异性年轻人互相已有友情，但姑娘们不愿轻率处理自己的终身大事，她们排除了一些小伙子作为自己的终身伴侣，这样她们实际上手头（心头）有一份可嫁的名单，问最多有多少位姑娘可以嫁给她如意的人选？为解决诸如此类的问题，1965年匈牙利数学家埃德蒙兹（Edmonds）为之设计了一种命名为“匈牙利算法”的有效算法。1、匈牙利算法：（1）设G是连通的二分图，在G中任取初始匹配M；（2）若M把X中顶皆许配，止；否则取X中未被M许配的顶,令；（3）若，止，G中无完备匹配；否则取；（4）若y被M许配，设，转（3）；否则取可增广轨，令，

6、转（2）。匈牙利算法实例应用（摘自2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）：问题重述：（问题中地图取自重庆市部分地图）现就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的5个问题：Ⅰ.根据该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。Ⅱ.对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，

7、请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。Ⅲ.根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。Ⅴ.针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。Ⅵ.如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。第二问

8、的求解就是对“匈牙利算法”的应用对于Ⅱ，本文从20个交巡警服务平台中选出13个平台封堵交通要道的思想出发，首先求出封堵的最短时间，然后依