可化为一元一次方程的分式方程

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1、§17.3可化为一元一次方程的分式方程激活思维1．看下面的问题：某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％．小勇家去年12月份的水费为18元，今年5月份的水费为36元．已知小勇家去年12月份的用水量比今年5月份的用水量少6立方米，问去年该市居民用水的价格．（1）根据题目中的等量关系设出未知数列出方程；（2）指出此方程是整式方程还是分式方程．2．分式方程作为一种新方程，如何求出分式方程的解是一个必须解决的问题．因为整式方程的解法已经熟悉，你能想出办法把分式方程转化为整式方程，再借助于整式方程求出分式方程的解吗?比如：，这个方程如何求解？3．方程有增根，试写出它的增根．4

2、．自从上次赛跑乌龟大胜兔子后，乌龟便成了体育界的名人，又是广告，又是讲演，活动不断．可蚂蚁偏偏不服气，向乌龟下了挑战书，我们来看：比赛结束后，蚂蚁并没有取胜．已知乌龟每分钟比蚂蚁多跑0．2米，提前1分钟跑到，请你算算它们各自的速度．信息鼠标1．（1）设去年该市居民用水的价格为x元，则今年该市居民用水的价格为（1+25％）x元，则：．10（2）此方程是分式方程．2．因为分式方程与整式方程的不同是分母中含有未知数，所以去掉分式方程的分母是解决问题的关缝．对于本题的方程．两边同乘(x+1)(x+3)，得3(x+3)＝5（x＋1）。解这个方程得：x=2．检验：当x=2时，(x+1)(x+3)

3、≠0．∴原方程的解是x=2．3．在解分式方程时，有时得到的未知数的值，使原分式方程的分母为零，这样的根叫原分式方程的增根，因此的增根应使x+5=0。即x＝一5．4．解：设蚂蚁每分钟跑x米，乌龟每分钟跑(x+0.2)米．依题意，得．解得x=1．检验：x=1是方程的根．x+0.2=1+0.2=1.2．答：蚂蚁每分钟跑1米，乌龟每分钟跑1.2米．互动研学教练教材研学一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验

4、，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根10增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简

5、公分母为0．比如：方程，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x的方程无解，求m的值。探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l（依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，

6、m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．10此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解

7、应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。3．编写符合一定条件的分式方程(开放型题目)这类开放型的题目，能很好地反映学生水平的高低，不同层次的学生都能解答此类题，这是对学生综合能力的考查．点石成金例1．解方程．分析：此类题目考查的是分式方程的解法，只需按照解分式方程的步骤求解．解：方程两边同乘以(x+