20个步骤教你如何怎么样画衬布的明暗素描(超经典)

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1、20世纪数理逻辑的概貌20世纪数理逻辑的概貌                （李娜）           分类:形式语义和数理逻辑               在20世纪里，数理逻辑的发展极其迅速并取得了巨大的成就。例如，1937年图灵提出了一个非常重要的关于计算的数学模型，现在人们称它为图灵机。它能计算一切能行可计算的问题类，是一个能行可计算的模型。还为现代通用计算机体系设计思想的产生提供了理论准备。1931年哥德尔证明了：一个包括初等数论在内的形式系统，如果它是一致的，那么它就是不完全的；或者说如果这样的系统是

2、一致的，那么它的一致性在本系统中不可证。现在人们称这个结论为哥德尔不完全性定理。这一定理为20世纪数理逻辑的发展带来了新的活力。近年来，它对人工智能的研究也产生了巨大影响。1933年塔斯基发表的《形式语言中的真值概念》一文是模型论的奠基著作，它为后来的逻辑语义学的发展奠定了基础。这是20世纪30年代数理逻辑所取得的三项伟大成就。笔者认为：20世纪30年代数理逻辑所取得的这三项伟大成就，不仅决定了20世纪逻辑学的面貌，而且也将影响着21世纪逻辑学的发展。本文将从历史的视角回顾20世纪数理逻辑的面貌并展望21世纪数理逻

3、辑或者21世纪早期数理逻辑的发展。数理逻辑包括一阶逻辑(指命题逻辑和狭谓词逻辑，也称为经典逻辑)、高阶逻辑、公理化集合论、递归论、模型论和证明论等。这部分内容基本上是数学化的，所以，它也是现代数学的基础。数理逻辑方面的分支相对来说比较成熟，即便如此，20世纪中也出现了一些新的发展。例如，在常见的经典命题逻辑系统中，联结词和括号总是兼而有之。在这样的系统中，联结词和括号各自承担各自的作用。实际上，它们的作用是可以互兼的。20世纪20年代，卢卡西维奇采用前置法使联结词兼负起括号的作用，并建立了不用括号的系统。我国学者在

4、20世纪90年代中，建立了不用联结词的命题逻辑系统，这表明括号也能兼具联结词的作用。不久，他又推广了他的这一结果，建立了不用联结词和量词的一阶逻辑系统，使括号发挥着更充分的作用。另外，通常在表述一阶逻辑的形式系统时，需要使用个体变项，现在有一种不使用个体变项的记法，这样的系统不仅保留了原来系统的表达能力，还在某些方面更接近于日常推理。70～80年代人们还给出了一种一阶逻辑的动态解释。此外，对一阶逻辑的一些子系统也进行了研究。例如，一元谓词逻辑，全称子句，以及Horn–子句等的研究。[1]              

5、 在四论中，公理化集合论是用现代公理化的方法重建康托尔集合论的研究。康托尔集合论中有一条重要的原则：把凡是满足某种性质p(x)的对象x聚集起来就构成一个集合。这一原则被称为概括原则。它很自然，人们原来对它深信不疑。1901年，罗素用具有性质x?x的元素x构成集合推出矛盾，这个矛盾就是著名的罗素悖论。罗素悖论的出现立即震动了整个数学界，引起了数学史上的第三次危机。为了消除罗素悖论，人们不得不对集合的概念加以限制。由于当时希尔伯特刚为欧氏几何学成功地建立了公理系统，因此大家普遍认为采用公理化的方法对集合作一些必要的限定

6、是适当的。1908年蔡梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗兰克尔等人加以改进和补充，终于形成了著名的ZF公理系统。在这个系统中，不仅避免了过去已发现的悖论，而且至今未发现出现新的悖论。特别是，保留了康托尔集合论。另外，还有罗素建立的类型论，冯?诺伊曼、贝奈斯和哥德尔等人建立的GB公理系统。由于ZF系统是一个形式公理系统，它建立在带等词“=”和属于关系“?”的一阶谓词演算上，它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理、正则公理。如果加上选择公理(AC)，得到的系

7、统记作ZFC。在ZFC公理系统中，子集公理是一种受到限制的概括原则。用这条公理只能得到与已构造的集合相比并不大的集合。这样就有效地阻止了悖论的产生，并且还能够得出数学中所需要的东西。但是，在ZFC公理系统中仍然存在着一些问题有待解决。例如连续统假设(CH)以及ZFC公理系统的协调性等等。在ZFC公理系统中，使用其它公理所得到的集合都可以构造性地给出，唯有选择公理是一个例外。为此在数学家中就是否承认选择公理也曾引起过激烈的争论。此外，有些由选择公理推出的结论也与直觉不服，其中最著名的是1924年巴拿赫和塔斯基证明的被

8、称为“分球怪论”的定理。这是人们感到它(选择公理)是一条危险的公理。另一方面，我们又很难放弃选择公理。事实上，若要放弃选择公理就得放弃一大部分现代数学。关于选择公理的激烈争论，直到1938年哥德尔建立了可构成模型L，用内模型方法，证明了选择公理和连续统假设(CH)相对于ZF是协调的才告结束。此后，哥德尔的内模型方法被广泛用于集合论的协调性证明中。到了70年代