2017学年中数学人教a版选修2-3课后导练:2.3.1离散型随机变量的均值word版含解析

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1、课后导练基础达标1.袋中有7个白球,3个红球,现采取不放回方式取球,直到取到红球为止.以ξ表示取球次数,则Eξ=()A.B.C.D.答案:A2.某随机变量ξ的概率分布为:ξ0123P0.1ab0.1且Eξ=1.5,则a=_________,b=_________.答案:a=b=0.43.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品.需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止,设ξ为取出的次数,求ξ的分布列及Eξ.解析:每次取1件产品,∴至少需2次,即ξ最小为2,有2件次品,当前2

2、次取得的都是次品时,ξ=4,所以ξ可以取2,3,4.P(ξ=2)=;P(ξ=3)=;P(ξ=4)=1-.∴ξ的分布列如下:Ξ234PEξ=2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)=.4.某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定:在这四周时间里有1周完成生产任务,则得奖金48元;如果有2周完成生产任务,则可得奖金80元;如果有3周完成生产任务,则可得奖金128元;如果4周都完成了生产任务,则可得奖金160元;如果4周都未完成任务,则没有奖金,假设某工人每周完成任务与否是等可能的,求一工人在2月份所得

3、奖金的期望.解析:设该工人在2月份所得奖金为ξ,他每周完成任务的概率为,P(ξ=0)=()0()4=,P(ξ=48)=()1()3=P(ξ=80)=()2()2=P(ξ=128)=()3()=P(ξ=160)=()4=∴Eξ=0×+48×+80×+128×+160×=84.5.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道,乙能答对其中的8道,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)求甲答对的试题数ξ的概率分布及数学期望.(2)求甲、乙两人至少

4、有一人考试合格的概率.解析:(1)ξ的分布列如下:ξ0123P甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A,B,则P(A)=,P(B)=,∴甲、乙两人考试均不合格的概率为:P(·)=P()P()=(1-)·(1-)=∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(·)=1-=综合运用6.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元,设在一年内E发生的概率为P,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交多少保险金?解析

5、:设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金,若以ξ表示公司每年的收益额,则ξ的分布列为:ξxx-aP1-pp∵公司每年收益ξ的期望值为Eξ=x(1-p)+(x-a)p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十,只需Eξ=0.1a,即x-ap=0.1a,x=(0.1+p)a,∴应交的保险金为(0.1+p)a.7.一批商品共100件,商家称其中只有10件是次品.为检验其质量的真实情况,现从中随机地抽出5件.(1)求抽出的5件商品中次品数的分布列与期望值;(2)如果抽出的5件商品中,有3件是次品,你如何评价该批商品

6、的质量.解析:(1)按商家所说,抽出的5件商品中的次品数是随机变量ξ,则ξ可以取0到5的6个整数.如果抽出的5件商品中恰好有k(k=0,1,2,3,4,5)件次品,则其相应的概率为P(ξ=k)=.按这个计算公式,并精确到0.001,则可求得ξ的分布列是ξ012345P0.5840.3400.0700.0060.0000.000次品数ξ的期望值是Eξ=0×0.584+1×0.340+2×0.070+3×0.006+4×0.000+5×0.000=0.498.这表明,通常情况下,抽出的5件商品中,只能约有半个次

7、品.(2)由上面的分布列可知,P(ξ=3)=0.006.可见,所抽取的5件商品中有3件是次品的可能性极小,只有0.6%.如此小的概率,在一般情况下是不可能发生的.因此,商家“100件商品中只有10件次品”的说法是不可信的.8.有一个赌场,3个骰子设赌,任何人投掷一次若出现3个六点,可赢100元,否则输掉1元.问这个赌规是否公平?为什么?在上述赌规下,赌场出现了一件意外的事,有人掷出了两个六点,另一颗骰子却被突如其来的不速之客——猫撞飞了,于是赌场出现了激烈的争执,赌主要求重掷,赌客当然不干,看客中说赢的,输

8、的,平的都有,请你用概率理论作分析,提出一种对赌注(1+100=101元)作分配的公平方案.解析:该赌规不公平,因为同时掷出3个六点的概率是()3=,若赌规规定为1∶215就公平了.(即掷不出3个六点,输1元,掷出3个六点,赢215元).赌事因无法预见的原因而夭折,论输赢都无依据;已出现两个六点,胜率已由提升到,说平了也不对,比较公平的方案是,将赌资(100+1=101元)按5∶1分配,赌主留下,赌客拿走.9.一

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