两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题

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1、两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题一、如何认识两个变量间的相关关系相关关系我们可以从以下三个方面加以认识：　　（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系就是函数关系．即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系．　　（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高

2、，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些．　　（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计．相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一

3、个新的高度．二、如何判断两个变量线性相关关系1、利用变量相关关系的概念利用变量相关关系的概念判断时，一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系－－函数关系；两个变量之间的关系具有随机性，不确定性－－相关关系。例1、在下列各个量与量的关系中：①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某户家庭用电量与水费之间的关系。其中是相关关系的为②③③④④⑤②③④解析：①正方体的体积与棱长之间的关系是确定的函数关系；⑤某户家庭用电量与水费之间无任何关系。②③④中，都是非确定的关

4、系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性。点评：解题的关键是首先分析两个量是否有关系，然后判断这种关系是确定性的关系还是随机的不确定性的关系。变式练习1：下列关系中是带有随机性的相关关系的有_____。①光照时间与果树的亩产量的关系；②圆柱的体积与底面直径的关系；③自由下落的物体的质量与落地时间的关系；④学生的数学成绩与物理成绩。2、利用散点图通过散点图观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地判断。例2下面的4个散点图中，两个变量具有相关关系的是（）A①②B①③C②④D③④解析：由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；②的所有点在一条直线附近波动，是线性相关关系；③不具有相关系；④

5、在某曲线附近波动是非线性相关关系，所以两个变量具有相关关系的是②④，故选C.点评：在考虑两个变量的关系时，可以用画散点图的方法形象直观地反映各对数据的密切程度。变式练习2：以下是某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价（单位：千元）和房屋面积（单位：平方米）的数据：房屋面积（平方米）11511080135105销售价格（万元）24821619429222试判断新房屋的销售价（单位：千元）和房屋面积（单位：平方米）之间是否具有相关关系？3、利用表格通过观察分析表格中的有关数据，看这些数据是否呈现一定的规律性。例3、下表是随机抽取的9名15岁的男生的身高与体重，判断所给的两个变量之间是否存在相关关系。编

6、号123456789身高（cm）165157155175168157178160163体重(kg)524445555447625053解析：由表格不难看出，同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg，因此体重不是身高的函数关系。将表格中的数据按身高由小到大重新排列，如下表所示，我们不难发现，随着身高的增长，体重基本上呈增加的趋势，因此身高与体重存在着相关关系。编号326891547身高（cm）155157157160163165168175178体重(kg)454447505352545562点评：这类题目一般是按一定的次序重新排列数据，再看这些数据是否具有规律性。变式练习3：下表是

7、某地的年降雨量与平均气温，判断两者是否具有相关关系？年份2002200320042005200620072008年平均气温（）年降雨量（）813574701432507677748变式练习答案与提示：1、①②④。2、画出散点图，可以看出新房屋的销售价（单位：千元）和房屋面积（单位：平方米）呈现一定的规律，所以新房屋的销售价（单位：千元）和房屋面积（单位：平方米）具有相关关系。3、因为研究的是某地的