吉林大学远程教育学院

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1、吉林大学远程教育学院学时：64主讲：杨荣副教授第一讲吉林大学远程教育（微积分学）大学文科数学微积分学初等数学研究的对象是不变的量——常量，微积分学则以变量为研究对象。对于文科大学生，微积分学是比较重要的基础课之一，它主要立足培养学生严密的逻辑思维能力、抽象思维能力。对于文科学生来说，培养一定的理性思维对专业的发展有很大的益处。微积分学所讲述的具体内容为：第一章函数与极限第二章导数及其应用第三章一元函数的积分学第四章常微分方程的基础知识第一章函数与极限§1函数1.1函数概念定义1设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对D中每一个数x，按照一定的法则f，总有惟一确定的数

2、值y与之对应，则称f是D上的一个函数，记为：数集D叫做函数f的定义域，称x为自变量，按照法则f，x所对应的数y称为f在x点的函数值，全体函数值的集合或称为函数f的值域。只有x0∈D时，才有对应的函数值，这时称函数f(x)在x0有定义，否则称f(x)在x0无定义。采用如上函数的记号，要注意区别函数与函数值，函数y=f(x)在x0∈D的函数值记为f(x0)或.在同时出现多个不同函数的场合，可以用各种字母，如：f、g、F、G、、等分别表示。上述定义中所说的函数只有一个自变量，这样的函数就称为一元函数。一元函数的定义域常用区间表示。设a，b是两个实数，且a

3、间。区间是微积分中常用到的数集，包括四种有限区间和五种无穷区间，它们的名称、记号和定义如下：都称为无穷区间。有时变量x只需在a点附近变化，δ为一个小正数，称开区间（a-δ，a+δ）为以a为中心、δ为半径的邻域，记为即而把集合称为以a为中心、δ为半径的去心邻域，类似地，,称为半开半闭区间。而其中a,b∈R，分别称为区间的左端点和右端点；＋∞和－∞分别读作“正无穷大”和“负无穷大”，它们不表示数值，仅仅是记号。在有限区间情况，称b－a为区间长度。有时候，在不一定要指明区间是开的或闭的，以及有限的或无限的场合，我们就简单地称之为区间，并且常用字母I来表示。吉林大学远程教育学院学

4、时：64主讲：杨荣副教授第二讲吉林大学远程教育（微积分学）大学文科数学例2求函数f(x)=x2－3x＋5在x＝2,x＝x0＋1，x＝x0＋h各点的函数值。例3设有两个函数f(x)=sinx和，它们是否相等？例4已知函数求f(2)，f(0.5)，f(－0.5)及f(x)的定义域。例1求函数的定义域下面我们回顾一下中学时学过的一些函数。1.常数函数记为。或称为a点的δ去心邻域。y＝c（c为常数）；D=(－∞,＋∞)，W＝{C}，其图形为过点（0，c）且平行于x轴的直线，如图1.1。cy=cyx图1.1o2.幂函数，它的定义域随不同的a而异，但无论a为何值，在(0,＋∞)内幂函

5、数总是有定义的。其图形过点(1，1)，a>0和a<0时的图形分别如图1.2和图1.3。y=xy=x2y=xy=x-1y=x-2图1.2·yx·01101图1.3yx··13.指数函数图1.4yx·01，它的定义域，值域，其图形均过（0，1）点。当a>1时，ax为单调递增函数，当01a<1在下一节将介绍一个特殊的无理数。在科学技术中时常会用到以e为底的指数函数。4.对数函数y图1.5·x01，对数函数是指数函数的反函数。其定义域其图形均过(1,0)点，当a>1时，为单调递增函数。当0

6、函数的反函数为简记为，称为自然对数。5.三角函数我们现在只介绍四个基本的三角函数。其中自变量要用弧度做单位来表达。正弦函数的定义域，它是以2π为周期的周期函数，且，其图形在直线之间。是奇函数，且在上单调递增，如图1.6。y图1.6xo·····余弦函数的定义域为，且也以为2π周期，因为，所以，其图形也在直线之间。是偶函数，且在[0，π]上单调递减。如图1.6。正切函数的定义域它是以π为周期的周期函数。因为，故为奇函数。如图1.7。余切函数的定义域也为周期函数，周期为π，且为奇函数。如图1.8。·····图1.7yxo图1.8yxo····6.反三角函数由于三角函数是周期函

7、数，对于值域内的每一个y值，都有无穷多个x值与之对应，因此必须限制其在单调区间内才能建立反三角函数。y=arccosx是余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数,其定义域是[-1,1],值域是[0,π]，并在定义域上单调递减,如图1.10。y=arcsinx是正弦函数y=sinx在[]上的反函数，叫做反正弦函数。其定义域是[-1,1]，值域是[]，并在定义域上单调递增，如图1.9。图1.9y·xo··图1.10yxo···y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,π)内的反函数,叫做反余切函数,其定