哈工大数值分析上机实验报告 2013年

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1、实验报告一题目：Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。前言：（目的和意义）1.学习Gauss消去法的原理。2.了解列主元的意义。3.确定什么时候系数阵要选主元.21.数学原理：由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象

2、。这一技术要寻找行r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1.消元过程对k=1,2,…,n-1,进行如下步骤。1)选主元，记若很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2)交换增广阵A的r，k两行的元素。(j=k,…,n+1)3)计算消元(i=k+1,…,n;j=k+1,……,n+1)2.回代过程对k=n,n-1,…,1,进行如下计算至此，完成了整个方程组的求解。.21.程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。Gauss消去法源程序：cleara=input('输

3、入系数阵：>>')b=input('输入列阵b：>>')n=length(b);A=[ab]x=zeros(n,1);%%%函数主体fork=1:n-1;%%%是否进行主元选取ifabs(A(k,k))abs(t)p=r;elsep=k;endend%%%交换元素ifp~=k;forq=k:n+1;s=A(k,q);A(k,q)=A(

4、p,q);A(p,q)=s;end.21.endend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重ifabs(A(k,k))

5、)/A(k,k)end.21.结果分析和讨论：例：求解方程。求解的结果为：=例：求解方程求得的结果为：=结论：采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。.21.实验报告二题目：Rung现象产生和克服摘要：由于高次多项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分段线性插值和三次样条插值的方法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。前言：（目的和意义）1.深刻认

6、识多项式插值的缺点。2.明确插值的不收敛性怎样克服。3.明确精度与节点和插值方法的关系。.21.数学原理：在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造n次的Lagrange插值多项式，实验结果表明（见后面的图）这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好，这种现象就是Rung现象。解决Rung现象的方法通常有分段线性插值、三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点a=x0

7、续函数。则插值函数称为区间[a,b]上对应n个数据点的分段线性插值函数。三次样条插值：给定区间[a,b]一个分划⊿：a=x0

8、间分为的等份数输入：');s=[-1+2/n*[