概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4

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1、第四章随机变量的数字特征1.甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用x，h表示，经过一段时间的考察，知x，h的分布律如下：x0123h012p0.70.10.10.1p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。解：因为Ex=0´0.7+1´0.1+2´0.1+3´0.1=0.6;Eh=0´0.5+1´0.3+2´0.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2.连续型随机变量x的概率密度为又知Ex=0.75，求k,a之值。解：首先由密度函数性质知；又Ex=0.75，即有；由上述两式可求得k=3,a=2

2、。3.已知随机变量x的分布律为x-1023p1/81/43/81/4求Ex，E(3x-2)，Ex2，E(1-x)2。解：Ex=(-1)´(1/8)+0´(1/4)+2´(3/8)+3´(1/4)=11/8;Ex2=(-1)2´(1/8)+02´(1/4)+22´(3/8)+32´(1/4)=31/8;E(1-x)2=(1-(-1))2´(1/8)+(1-0)2´(1/4)+(1-2)2´(3/8)+(1-3)2´(1/4)=17/8或者，E(1-x)2=E(1-2x+x2)=1-(E2x)+Ex2=17/8。4.若x的概率密度为。求(

3、1)Ex，(2)Ex2。解：(1)中因e-

4、x

5、为偶函数，x为奇函数，故xe-

6、x

7、为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上故Ex=0。(2)。5.轮船横向摇摆的随机振幅x的概率密度为求(1)确定系数A；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：(1)由密度函数性质知,即(2)，。6.一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度x和h为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：x91011h67p0.30.50.2p0.40.6试求E(x+h)，E(xh)。解：因为Ex=9´0.3+10´0

8、.5+11´0.2=9.9，Eh=6´0.4+7´0.6=6.6，故E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5；又x和h为两个相互独立的，因此有E(xh)=Ex·Eh=9.9´6.6=65.34。7.已知(x，h)的联合概率密度为试求E(x2+h2)。解：E(x2+h2)=。8.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以x表示停车的次数，求Ex(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。解：引入随机变量易知，，现在求Ex由题设，任一游客在第

9、i站不下车的概率为9/10，因此，20位游客都不在第i站下车的概率为(9/10)20，在第i站下车的概率为1-(9/10)20。也就是P{xi=0}=(9/10)20，P{xi=1}=1-(9/10)20()，因此，Exi=1-(9/10)20()。故Ex=E(次)9.圆的直径用x度量，而x且在[a，b]上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。解：由于x服从[a，b]上的均匀分布，因此x的分布密度为而圆的周长L=px，圆的面积A=px2/4，故有EL=E(px)=pEx=，DL=D(px)=p2Dx=；EA=px2/4

10、=，又=，因此DA=EA2-(EA)2==10.设随机变量x，h相互独立，其概率密度分别为：，试求E(xh)，D(x+h)。解：因为，，，，又x与h是独立的，故有E(xh)=Ex´Eh=1´1=1；D(x+h)=Dx+Dh=。11.设随机变量x与h相互独立，且Ex=Eh=0，Dx=Dh=1，求E(x+h)2。解：E(x+h)2=E(x2+2xh+h2)=Ex2+2E(xh)+Eh2，又x与h相互独立，因此E(xh)=Ex´Eh，而Dx=，同理故有E(x+h)2=E(x2+2xh+h2)=Ex2+2Ex´Eh+Eh2=+2Ex´Eh+=

11、1+1=2。12.若连续型随机变量的概率密度是且已知Ex=0.5，Dx=0.15，求系数a,b,c。解：因为，即有①又Ex=0.5，故②又Ex=0.5，Dx=0.15，因而Ex2=0.4，因此③解①、②、③组成的方程组，解得a=12，b=-12，c=3。13.设随机变量x有分布函数求E(2x+1)，D(4x)。解：先求x的分布密度函数故，,因此。从而有E(2x+1)=2Ex+1=，D(4x)=16Dx=。14.证明：当k=Ex时，E(x-k)2的值最小，且最小值为Dx。解：E(x-k)2=E[(x-Ex)+(Ex-k)]2=E(x-E

12、x)2+2E(x-Ex)(Ex-k)+E(Ex-k)2=E(x-Ex)2+E(Ex-k)2=Dx+E(Ex-k)2³Dx。即当k=Ex时，E(x-k)2取得最小值Dx。15.如果x与h相互独立，不求出(xh)的分布，直接