理论力学综合题目

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1、186综合问题习题综-1滑块M的质量为m，在半径为R的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图综-1a所示。滑块M上系有1刚度系数为k的弹性绳MOA，此绳穿过光滑的固定环O，并固结在点A。已知当滑块在点O时线的张力为零。开始时滑块在点B，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。求下滑速度v与ϕ角的关系和圆环的约束力。MO′OaTϕmgFvNF(a)(b)图综-1解滑块M在下降至任意位置时的运动及受力分析如图综-1b所示。滑块M在下降过程中v与ϕ的关系可由动能定理确定：2[22]

2、22(2)(2sin)12mg×2Rcosϕ+1kR−Rϕ=mv-02cos(1)mgv=ϕgR+kR（1）滑块M的法向运动微分方程为2kRsinϕcos(90°−ϕ)+mgcos(180°−2ϕ)RFmv2N−=式（1）代入上式，化简得2ϕϕ2ϕNF=2kRsin−mgcos2−4(mg+kR)cos综-2如图综-2a所示1撞击试验机，主要部分为1质量为m=20kg的钢铸物，固定在杆上，杆重和轴承摩擦均忽略不计。钢铸物的中心到铰链O的距离为l=1m，钢铸物由最高位置A无初速地落下。求轴承约束力与杆

3、的位置ϕ之间的关系。并讨论ϕ等于多少时杆受力为最大或最小。OABmgtFnFtavnaϕ(a)(b)图综-2解钢铸物下降至ϕ角位置时运动和受力分析如图综-2b所示。轴承约束力不做功，做功力为重力mg，是有势力，故机械能守恒，设O位置为零势能位置，则22mgl=mglcosϕ+1mv即v2=2gl(1−cosϕ)（1）187式（1）两边对时间t求导，得2=2sinϕ⋅ϕ&tvaglϕ,sinϕtv=l&a=g（2）法向：cos()2n2nlavlF+mgϕ=mv=式（1）代入上式，得(23cos)nF

4、=mg−ϕ（3）切向：ttF+mgsinϕ=ma式（2）代入上式得0tF=由式（3），当ϕ=π时Fn=Fmax=5mg=（5×20×9.8）N=980N当48113ϕ=arccos2=°′时，Fn=Fmin=0讨论：ϕ=0时，F=−mgn只表示杆受压力，一般讨论最大、最小应以绝对值考虑。综-31小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图综-3a所示。线的另1端穿过1孔以等速v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度v0垂直于此线段。求小球的运动方

5、程和线的张力F（提示：解题时宜采有极坐标）ϕFvvFϕvρvρMO(a)(b)图综-3解小球在铅垂方向受合力为0，在水平面内受拉力F，受力和速度分析如图综-3b所示。由于作用于小球的力对小孔O（轴Oz）之矩为零，故小球在运动过程中对点O（轴Oz）的动量矩守恒，即ρϕmvR=mv⋅00vRvρϕ=在极坐标下，vtv==−ddρρ积分，得ρ=R−vt故小球在任意瞬时绕小孔O转动的角速度20(Rvt)vvR−==ρωϕ即20d()dRvtvRt−==ϕω188两边积分得RvtvttRvttvR−=−=∫0

6、20d0()ϕ故小球的运动方程ρ=R-vtRvtvt−ϕ=0线的张力32202(Rvt)mvmvRFmam−====ρρϕρ&&综-4正方形均质板的质量为40kg，在铅垂平面内以3根软绳拉住，板的边长b=100mm，如图综-4a所示。求：（1）当软绳FG剪断后，木板开始运动的加速度以及AD和BE两绳的张力；（2）当AD和BE两绳位于铅垂位置时，板中心C的加速度和两绳的张力。mg60°60°60°BAADFBEFnCaCmgCABADFBEFCvCa(a)(b)(c)图综-4解（1）对绳FG刚剪断瞬时

7、的均质板进行运动和受力分析。板在软绳FG剪断后作平面曲线平移（ω及α均为零），板在刚剪断瞬时其质心C只有切向加速度，tCCa=a，如图综-4b所示。根据平面运动微分方程CCCCma=ΣF,ma=ΣF,Jα=ΣMnntt得Cmgcos60°=ma（1）F+F−mgsin60°=0ADBE（2）cos6002sin602cos602sin602Fb°−Fb°−Fb°−Fb°=BEBEADAD（3）联立解得4.9m/s22a=g=C=72NADF=268NBEF（2）板运动到两绳位于铅垂位置时（即板的最低

8、位置时）其运动及受力分析如图c，因所有外力沿铅垂方向，故点C无水平方向（即切向）加速度，只有铅垂方向（即法向）加速度。板自绳FG刚剪断后至最低位置过程中，由动能定理确定点C的速度。设AD，BE绳长为l，则22(1sin60)1Cmgl−°=mvv2=gl(2−3)C（1）根据质心运动定理及相对质心动量矩定理得FAD+FBE–mg=maC（2）022Fb−Fb=BEAD（3）189lavCC2=a=g(2−3)=2.63m/s2C代入式（2），（3）得(1)249N2=