两个单调函数乘积的单调性毕业论文.doc

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1、2014届信息与计算科学专业毕业论文两个单调函数乘积的单调性毕业论文目录摘要：I关键词IAbstractII1引言12单调函数基本理论12.1定义12.2性质33单调函数的判定33.1定义法33.2利用复合函数性质判定43.3利用反函数性质判定53.4利用奇、偶函数性质判定63.5求导法74函数单调性的应用84.1求函数的极值、最值以及值域84.2证明不等式94.3证明方程根的存在性以及判断根的个数115探讨两个单调函数的乘积的单调情况115.1影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素115.2利用导数证

2、明两个单调函数的乘积的单调情况125.2.1乘积函数求导法则125.2.2分情况讨论两个单调函数的乘积的单调性135.3举例论证相关结论146结束语15致谢16参考文献17第17页共17页2014届信息与计算科学专业毕业论文1引言单调函数是历年高考考查的重要内容之一，考查方式之广，考查题目之多，无疑成为了老师教学的重点和学生学习的难点.当只讨论一个简单函数的单调性时，问题并不难解决，如基本初等函数的单调性问题.难点就在于函数经过运算之后的单调性问题，比如两个单调函数相乘或者是相除之后得到的新函数单调性问题

3、.对于这一点，有不少人会有错误的理解，如认为“两个单调增加函数的乘积必为单调增加函数”或者是“两个单调减少函数的乘积必为单调减少函数”.这两种说法具体错在哪里呢？下面我们将紧紧围绕着函数单调性这个问题进行研究探讨.2单调函数基本理论2.1定义设函数的定义域为，若，且时，有（或），则称函数在上单调增加（或单调减少）.若上式中等号不成立，即（或），则称函数在严格单调增加（或严格单调减少）.函数在上单调增加、单调减少与严格单调增加、严格单调减少，均可称为函数在上单调.严格单调增加与严格单调减少称为严格单调.定义

4、域称为函数的单调区间.特别地，常数函数既是单调增加函数，又是单调减少函数【1】.（图2.1单调增加函数）（图2.2单调减少函数）例：几个常见函数的单调性.（1）指数函数，当时，在上严格单调减少，当时，在上严格单调增加；（2）对数函数，当时，在上严格单调减少，当时，第17页共17页2014届信息与计算科学专业毕业论文在上严格单调增加；（3）二次函数，当时，函数开口向上，在上严格单调减少，在上严格单调增加，当时，函数开口向下，在上严格单调增加，在上严格单调减少.（指数函数，）（指数函数，）（对数函数，）（对数

5、函数）（二次函数，）（二次函数，）（4）反正切函数在上严格增加，反余切函数在上严格减少；（5）一次函数，当时，在上严格减少，当时，在上严格第17页共17页2014届信息与计算科学专业毕业论文增加；2.2性质性质2.1若函数为增函数，则其图像在单调区间上逐渐上升（因变量随着自变量的增加而增大）；若函数为减函数，则其图像在单调区间上逐渐下降（因变量随着自变量的增加而减小）.性质2.2是在上的单调增加函数，若，则在上是单调增加函数，若，则在上是单调减少函数.性质2.3设都是在上的单调增加函数，则函数也是在上是单

6、调增加函数.证：，且，由题意有与，则它们的和有，，即它们的和在上也是单调增加.性质2.4若都是在上的非负单调增加函数，则在上是单调增加函数.性质2.5若是在上的正单调增加函数，则它的倒函数在上是单调减函数；性质2.6若函数和分别在定义域和上单调，则复合函数在其定义域内也单调，当且仅当和同指向单调时单调增加（在3.2中将给出详细证明）.性质2.7若是在上的单调函数，则的反函数在上也是单调函数，且与单调性相同（在3.3中将给出详细证明）.性质2.8由奇函数的图像关于原点成中心对称，可知其在原点两侧的单调性相同

7、；由偶函数的图像关于原点成轴对称，可知其在原点两侧的单调性相反.3单调函数的判定在熟悉了有关函数单调性的定义和性质之后，我们可以推出几种判别函数单调性的方法，如定义法，复合函数法，反函数法，奇、偶函数法.除此之外，我们还可以利用导数这一工具，简单而有效地判断出函数的单调性，下面将对这些方法一一进行讨论.3.1定义法设为定义在上的函数，为定义域内的两个任意自变量，一般假设，给出函数之后，我们用2.1中的定义来判断函数在上的单调性.一般步骤如下：（1）在定义域内任取，且；第17页共17页2014届信息与计算科

8、学专业毕业论文（2）比较和的大小，一般用差值法，令；（3）若，则函数在上单调增加；若，则函数在上单调减少.例：判断函数在其定义域内的单调情况.解：当时，任取且，则，又因为，且，所以，即，可知在上单调减少.同理可证：在区间上，也单调减少，所以函数在定义域单调减少.3.2利用复合函数性质判定定义3.1【1】设函数定义域为，函数定义域为，是定义域中使的，关于的非空子集，即由对应关系可知，对应唯一一个，又由对应关系可知，对应唯一一个.