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1、第十一节数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例.读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示★衰变问题★追迹问题★自由落体问题★弹簧振动问题★串联电路问题★返回内容要点(1)衰变问题(2)追迹问题(3)自由落体问题(4)弹簧振动问题(5)串联电路问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变.根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻的质量.解用表
2、示该放射性物质在时刻的质量，则表示在时刻的衰变速度，依题意得(1)它就是放射性元素衰变的数学模型，其中是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间增加时，质量减少.易求出方程(1)的通解为若已知当时，代入通解中可得则可得到特解它反映了某种放射性元素衰变的规律.注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素的半衰期约为50亿年；通常的镭的半衰期为1600年，而镭的另一同位素的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的
3、初始质量，一克衰变成半克所需要的时间与一吨衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.追迹问题例2（E02）设开始时甲、乙水平距离为1单位,乙从A点沿垂直于OA的直线以等速向正北行走；甲从乙的左侧O点出发,始终对准乙以的速度追赶.求追迹曲线方程,并问乙行多远时,被甲追到.解设所求追迹曲线方程为经过时刻甲在追迹曲线上的点为乙在点于是(1)由题设，曲线的弧长为解出代入(1)，得整理得追迹问题的数学模型设则方程化为或两边积分，得即将初始条件代入上式，得于是(2)两边同乘并化简得(3)(2)式与
4、(3)式相加得两边积分得代入初始条件得故所求追迹曲线为甲追到乙时，即点的横坐标此时即乙行走至离点个单位距离时被甲追到.自由落体问题例3（E03）一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点(如图).设地球的半径为物体的质量为物体开始下落时与地球中心的距离为在时刻物体所在位置为于是速度为由万有引力定律得微分方程即其中为地球的质量，为引力常数.因为当时，(取负号是因此时加速度的方向与轴的方向相反).代入得到初始条件为先求物体到
5、达地面时的速度.由得代入并分离变量得把初始条件代入上式，得于是式中令就得到物体到达地面时得速度为再求物体落到地面所需的时间.分离变量得由条件得在上式中令便得到物体到达地面所需得时间为弹簧振动问题例4（E04）设有一个弹簧,它的一端固定,另一端系有质量为m的物体,物体受力作用沿x轴运动,其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3).如果使物体具有一个初始速度那么物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动.在此过程中,物体的位置x随时间t变化.要确定物体的振动规律,就是要求出函数解据胡克定律知,弹簧的弹性恢复力与弹簧变形成正比:其中(称为弹性系数),负号表
6、示弹性恢复力与物体位移方向相反.在不考虑介质阻力的情况下,由牛顿第二定律可得或(11.9)方程(11.9)称为无阻尼自由振动的微分方程.它是一个二阶常系数齐次线性方程.如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油、水等)的阻力的作用,设阻力与质点运动的速度成正比,且阻力的方向与物体运动方向相反,则有其中(阻尼系数).从而物体运动满足方程或(11.10)这个方程叫做有阻尼的自由振动微分方程,它也是一个二阶常系数齐次线性方程.如果物体在振动过程中所受到的外力除了弹性恢复力与介质阻力之外,还受到周期性的干扰力的作用,那么物体的运动方程为即(11.11)其中这
7、个方程称为强迫振动的微分方程,它是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.下面就三种情形分别讨论物体运动方程的解.串联电路问题如图12-11-7是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路,时合上开关,接入电源电动势求电路中任何时刻的电流根据克希霍夫回路电压定律,有其中RI为电流在电阻上电降压,而(Q为电容器两极板间的电量,是时间t的函数)为电容在电感上电压降,则为电流在电感上电压降.由电学知,于是方程成为(11.13)这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.若当时,已知电量为和电流为则我们有初始条件:此时,能求出方程(11.13)初vi始问
8、题的解.例5（E05）在图12-11-7的电路中,设且初始电量和电流均为0,求电
