二项式定理.版块五.二项式定理的应用2证明不等式.学生版

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1、证明不等式知识内容1.二项式定理⑴二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理.⑵二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式,其中的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.⑶二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项,各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数.②字母的按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减1直到零,字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到.⑷几点注意①通项是的展开式的第项,这里.②二项式的项和的展开式的第项是有区别的,应用二项式定理时,其中的和是不能随便交换的.③注意二项式系数()与

2、展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负.5④通项公式是这个标准形式下而言的,如的二项展开式的通项公式是(只须把看成代入二项式定理)这与是不同的,在这里对应项的二项式系数是相等的都是,但项的系数一个是,一个是,可看出,二项式系数与项的系数是不同的概念.⑤设,则得公式:.⑥通项是中含有五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素.⑦当不是很大,比较小时可以用展开式的前几项求的近似值.2.二项式系数的性质⑴杨辉三角形:对于是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用杨辉三角计算.杨辉三角有如下

3、规律:“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.”⑵二项式系数的性质:展开式的二项式系数是:,从函数的角度看可以看成是为自变量的函数,其定义域是:.当时,的图象为下图:这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.5①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由公式得到.②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是,,...,,,...,.其中,后一个二项式系数的分子

4、是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数(如),分母是乘以逐次增大的数(如1,2,3,…).因为,一个自然数乘以一个大于1的数则变大,而乘以一个小于1的数则变小,从而当依次取1,2,3,…等值时,的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间.当是偶数时,是奇数,展开式共有项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为.当是奇数时,是偶数,展开式共有项,所以有中间两项.这两项的二项式系数相等并且最大,最大为.③二项式系数的和为,即.④奇数项的二项式

5、系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即.常见题型有:求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.典例分析二项式定理的应用2证明不等式5【例1】已知:,求证:,【例2】,求证:【例3】且,求证:【例4】求证:【例5】求证:【例6】,求证:.5【例1】求证:【例2】对于,.【例3】求证:【例4】已知是正整数,且,⑴证明;⑵证明.【例5】已知函数满足(),,并且使成立的实数有且只有一个.⑴求的解析式;5⑵若数列的前项和为,满足,当时,,求数列的通项公式.⑶在⑵的条件下,令(),求证:当时,有.5

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