踏花归来马蹄香---2017浙江卷第21题别解赏析与思考

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1、踏花归来马蹄香---2017浙江卷第21题“别解”赏析与思考●李承法（浙江省开化中学　324300）　手机15068959136邮箱lichengfa19@163.com2017浙江卷第21题与抛物线有关的最(极)值问题，这道题若是不加以思考，直接计算，则是计算量大，容易出错，而若是将思考量增大，则会减少计算，注重将几何问题本质提炼，并与相关知识的联系(如平面几何，向量、函数、方程、不等式等)合理转化，就会有精彩的解答．图12017浙江卷第21题：如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．（I）求直线斜率的取值范围；（II）求的

2、最大值．解：（Ⅰ）设直线AP的斜率为，则=，因为，所以直线AP斜率的取值范围是．以下第（Ⅰ）小题由于解法固定且简单，将不再另外求解．以下为第（II）小题两种视角------几何视角和代数视角下各种解法探析．1几何视角下解法探析图2解法一：设的中点为，则，∵，∴点在以为直径的圆周上如图1，且．连结并延长交圆于，则，其中为圆的半径．又，故．令，则，令得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．因此，当时，取得最大值．所以·的最大值为．评注：此解法运用了平面几何中圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角；圆中相交弦定理等知识，优化思维，简化计算，最后同前面

3、解法一样构造函数，结合导数求出问题的最值．图3变式：将条件“过点作直线的垂线，垂足为”改为：“过点作直线与直线相交于点，且”，其它条件不变，求·的最大值．简解：同前一样分析知，点在的外接圆⊙上，且满足，则，此时⊙的半径，，以下解法同前，（略去）．解法二：设，，，∵，∴＝＝，当且仅当时等号成立．∴·的最大值为．评注：此法利用向量的数量积的几何意义的逆用，即恰好等于的模与在方向上的投影的积，即＝；另外，由此得到了关于的四次函数式后，又运用常见的配方法，解决了高次函数最值问题．此解法新颖，思维深刻，几何背景搭台，代数唱戏，实有创新．2代数视角下的解析解法三

4、：考虑参数方程．设，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），∵，∴点在以为直径的圆上，而以为直径的圆方程为：，将直线的参数方程代入圆的方程得，∴·，设，．以下利用导数求最大值的过程则同上，故略去．评注：此法最为简单，线段长度之积，自然联想参数方程使高考中解答这道题会更简捷利索些．解法四：（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点的横坐标是，因为由（Ⅰ），，所以，==，==，所以·，令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当=时，

5、PA

6、·

7、PQ

8、取得最大值．评注：此解法是充分运用坐标，方程思想，但解法显得繁，计算量大，容易出现差错．解法五：设

9、，，直线AP的斜率为，则=，设直线的方程为，即，∵，若①，，此时，∴；若②，直线的斜率，直线的方程为，即，将直线与直线方程联立，解得点的横坐标是，∴，接下来可用导数工具来最大值．设，则，，令得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．因此，当时，取得最大值．所以·的最大值为．评注：此解法运用坐标思想，利用了直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，是常用方法之一。综上，解析几何问题的本质是把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，图形问题代数化是解析几何的本质。函数建模能为解答最值试题增添了一抹亮色．解析几何的关键在于找到最好的方

10、法解决问题，借助数形结合的思想方法，在平面几何得出的结论就要大胆应用，就能找到简洁的方法．解析几何的优点在于数形结合而又动态的处理问题，其解题思路有很强的程序性，但是，盲目操作往往会带来烦琐的讨论或繁杂的计算．