初中总复习专题之函数中的数学思想

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1、中考数学复习专题二十函数中的数学思想刘东升（江苏省海安县李堡镇初级中学226631）数学思想和方法是数学的血液和精髓，是进行数学发现和创造的工具，数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．函数（侧重于本期复习的一次函数、反比例函数）中渗透了相应的数学思想，下面我们精选近年中考试题跟同学们就常见数学思想归类例析，希望对同学们复习有所帮助．一、变化与对应思想【例1】2008年奥运会日益临近，某厂经授权生产的奥运纪念品深受人们欢迎，今年1月份以来，该产品原有库存量为（）的情况下，日销量与产量持平，3月底以来需求量增加，在生产能力不变的情况下，该产品一度脱销，下

2、图能大致表示今年1月份以来库存量与时间之间函数关系的是（）A．B．C．D．【解析】由题意,1以来,日销量与产量持平说明开始函数图象应该对应着水平线段,当3月底以来,产品一度脱销,意味着库存不断减少至0,显然B图象符合变化与对应的关系.选B.【点评】“变化与对应”的思想是学习函数重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：①世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；②在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系．变化与对应思想也是函数中蕴涵的基本思想．二、数形结合思想【例2】函数的图象上有两点，，若

3、0<，则（）A．B．C．D．、的大小不确定【解析】本题根据所给的反比例函数解析式，在草稿上描出其二、四象限的双曲线草图，借助双曲线的递增性很容易可知应该选A。【点评】以上方法主要就是通过作出草图，借助于数形结合方法快速求解选择题的，这种方法对于类似的函数值的大小比较上有快速求解的功效，值得同学们积累。【例3】甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图像如图5所示．根据图像信息，下列说法正确的是（）A．甲的速度是4 km/hB．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1hD．甲比乙晚到B地3h

4、乙甲20O1234s/kmt/h10【解析】由所给的函数图象观察可以知道甲的速度应该是5km/h；乙的速度是20km/h；乙比甲晚出发1h；甲比乙晚到B地2h．故选C．【点评】这是与一次函数相关的一道数形结合问题，认真观察图象应该能找出有效的信息，从而实现问题的解决．三、建模思想与化归思想【例4】某工程机械厂根据市场需求，计划生产两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号成本（万元／台）200240售价（万元／台）25

5、0300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台型挖掘机的售价不会改变，每台型挖掘机的售价将会提高万元（），该厂应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润＝售价－成本）【解析】（1）设生产型挖掘机台，则型挖掘机可生产台，由题意知，解得．取非负整数，为，，．有三种生产方案：型38台，型62台；型39台，型61台；型40台，型60台．（2）设获得利润（万元），由题意知．当时，（万元），即生产型38台，型62台时，获得利润最大．（3）由题意知，当，则时，最大，即型挖掘机生产38台，型挖掘机生产62台；当时，，三种生产方案获得

6、利润相等；当，则时，最大，即型挖掘机生产40台，型挖掘机生产60台．【点评】第（1）问考查了不等式组整数解的应用；第（2）问考查了一次函数增减性的应用；第（3）问在第（2）问的基础上，进一步递进，由题意写出含参数m的一个新的一次函数解析式，并结合一次函数增减性来分析该函数何时获得最大值．这也是构建一次函数模型进行决策的重要数学思想．【例5】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离（cm），观察弹簧秤的示数（Ｎ）的变化情况．实验数据记录如下：（cm）　　10152025　　30

7、　　（Ｎ）　　30201512　　10　　353025201510505101520253035（牛顿）（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧杆的示数为24N时，弹簧秤与点的距离是多少cm？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？【解析】（1）画图略由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数设把代入得：将其余各点代入验证均适合与的函数关系式为：（2）把代入得：当弹簧秤的示