初中总复习专题之函数中的数学思想

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1、中考数学复习专题二十函数中的数学思想刘东升(江苏省海安县李堡镇初级中学226631)数学思想和方法是数学的血液和精髓,是进行数学发现和创造的工具,数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂.函数(侧重于本期复习的一次函数、反比例函数)中渗透了相应的数学思想,下面我们精选近年中考试题跟同学们就常见数学思想归类例析,希望对同学们复习有所帮助.一、变化与对应思想【例1】2008年奥运会日益临近,某厂经授权生产的奥运纪念品深受人们欢迎,今年1月份以来,该产品原有库存量为()的情况下,日销量与产量持平,3月底以来需求量增加,在生产能力不变的情况下,该产品一度脱销,下

2、图能大致表示今年1月份以来库存量与时间之间函数关系的是()A.B.C.D.【解析】由题意,1以来,日销量与产量持平说明开始函数图象应该对应着水平线段,当3月底以来,产品一度脱销,意味着库存不断减少至0,显然B图象符合变化与对应的关系.选B.【点评】“变化与对应”的思想是学习函数重要的基础,所谓变化与对应的思想包括两个基本意思:①世界是变化的,客观事物中存在大量的变量;②在同一个变化过程中,变量之间不是孤立的,而是相互联系的,一个变量的变化会引起其他变量的相应变化,这些变化之间存在对应关系.变化与对应思想也是函数中蕴涵的基本思想.二、数形结合思想【例2】函数的图象上有两点,,若

3、0<,则()A.B.C.D.、的大小不确定【解析】本题根据所给的反比例函数解析式,在草稿上描出其二、四象限的双曲线草图,借助双曲线的递增性很容易可知应该选A。【点评】以上方法主要就是通过作出草图,借助于数形结合方法快速求解选择题的,这种方法对于类似的函数值的大小比较上有快速求解的功效,值得同学们积累。【例3】甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进,A,B两地间的路程为20km.他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图像如图5所示.根据图像信息,下列说法正确的是()A.甲的速度是4 km/hB.乙的速度是10km/hC.乙比甲晚出发1hD.甲比乙晚到B地3h

4、乙甲20O1234s/kmt/h10【解析】由所给的函数图象观察可以知道甲的速度应该是5km/h;乙的速度是20km/h;乙比甲晚出发1h;甲比乙晚到B地2h.故选C.【点评】这是与一次函数相关的一道数形结合问题,认真观察图象应该能找出有效的信息,从而实现问题的解决.三、建模思想与化归思想【例4】某工程机械厂根据市场需求,计划生产两种型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元,且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机,所生产的此两型挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产成本和售价如下表:型号成本(万元/台)200240售价(万元/台)25

5、0300(1)该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案?(2)该厂如何生产能获得最大利润?(3)根据市场调查,每台型挖掘机的售价不会改变,每台型挖掘机的售价将会提高万元(),该厂应该如何生产可以获得最大利润?(注:利润=售价-成本)【解析】(1)设生产型挖掘机台,则型挖掘机可生产台,由题意知,解得.取非负整数,为,,.有三种生产方案:型38台,型62台;型39台,型61台;型40台,型60台.(2)设获得利润(万元),由题意知.当时,(万元),即生产型38台,型62台时,获得利润最大.(3)由题意知,当,则时,最大,即型挖掘机生产38台,型挖掘机生产62台;当时,,三种生产方案获得

6、利润相等;当,则时,最大,即型挖掘机生产40台,型挖掘机生产60台.【点评】第(1)问考查了不等式组整数解的应用;第(2)问考查了一次函数增减性的应用;第(3)问在第(2)问的基础上,进一步递进,由题意写出含参数m的一个新的一次函数解析式,并结合一次函数增减性来分析该函数何时获得最大值.这也是构建一次函数模型进行决策的重要数学思想.【例5】如图所示,小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物,在中点右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点的距离(cm),观察弹簧秤的示数(N)的变化情况.实验数据记录如下:(cm)  10152025  30

7、  (N)  30201512  10  353025201510505101520253035(牛顿)(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测与之间的函数关系,并求出函数关系式;(2)当弹簧杆的示数为24N时,弹簧秤与点的距离是多少cm?随着弹簧秤与点的距离不断减小,弹簧秤上的示数将发生怎样的变化?【解析】(1)画图略由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数设把代入得:将其余各点代入验证均适合与的函数关系式为:(2)把代入得:当弹簧秤的示

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