本科生科研训练与创新创业项目

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1、附件2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本科生科研训练与创新创业项目（创新项目）申报书项　目　名　称上的集合与测度的研究申请人姓名黄小洁所在部院系数学科学学院申报人电话及手机15600562075申报人电子信箱15600562075@163.com导师姓名唐仲伟导　师　职　称副教授导师所在单位北京师范大学导师电话及手机010-58807691导师电子信箱tangzw@bnu.edu.cn填　表　日　期2015.5.北京师范大学教务处2015年制表填表说明1、申报书各项内容

2、，务必实事求是，表达明确严谨，字迹清晰，格式正确，否则不予受理。2、申报书请用A4纸双面印制，左侧装订。格式、内容应与电子版相同。一、项目申请人及参加人情况项目申请人基本情况姓名黄小洁性别女民族汉身份证号330381199503215321部院系数学科学学院学号201311942056年级2013专业数学与应用数学电话手机15600562075Email15600562075@163.com签名项目申请人简历自何年月至何年月学校或单位（从高中开始）备注20102013浙江省瑞安中学学习委员2013

3、至今北京师范大学项目申请人参加科研情况自何年月至何年月参加项目名称项目来源担任的工作完成情况及成果项目申请人入校以来的主要专业必修课成绩课程名称类别学分成绩课程名称类别学分成绩数学分析I专业必修685解析几何专业必修4100代数学基础I专业必修680普通物理I专业必修693数学分析II专业必修680代数学基础II专业必修488普通物理II专业必修486数学分析III专业必修688代数学基础III专业必修486常微分方程专业必修489概率论专业必修492数学分析研讨课专业必修288基础物理实验专业必

4、修286项目组成员情况（不包括项目申请人和导师）姓　名性别学号身份证号部院系年级专业侯文娟女201311131116142322199502131026数学科学学院2013统计学电话手机Email分工签名155010961271026754946@qq.com参加科研情况项目名称及来源起止年月完成情况及成果姓　名性别学号身份证号部院系年级专业陶宝艳女201311131036220281199507053824数学科学学院20131级数学与应用数学电话手机Email分工签名无188130422828

5、73805088@qq.com参加科研情况项目名称及来源起止年月完成情况及成果二、项目研究方案及摘要项目摘要（限50字以内）在集合论公理化体系下对实数论，及测度论进行系统性研究，并探讨zfc公理的合理性。项目研究方案（可另附纸）立论依据（项目的背景，理论与实践意义，拟研究问题的国内外现状分析，预见其成果应用后的影响与作用，本项目的新意和独到之处）项目的背景：集合论是数学学科的基础，对它的研究总结有重要的意义。集合为数学最原始的概念，以它为基础建立起整个数学世界。现代集合论的研究开始于1870年代由

6、康托尔及理察·戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的，但朴素集合论的开始是1874年康托尔的一篇论文《OnaCharacteristicPropertyofAllRealAlgebraicNumbers》[1][2]。从公元前五世纪时，数学家们就在研究有关无穷的性质，最早期是希腊数学家芝诺和印度数学家，十九世纪时伯纳德·波尔查诺在此领域有相当的进展[3]。现在对于无限的了解是从1867–71年康托尔在数论上的研究开始，1872年康托尔和理查德·戴德金的一次聚

7、会影响了康托尔的理念，最后产生了1874年的论文。直到恩斯特·策梅洛及亚伯拉罕·弗兰克尔分别在1908年和1922年的研究．最后产生了策梅洛-弗兰克尔集合论的许多公理。昂利·勒贝格等人在实分析上的研究用到集合论中的许多数学工具，后来集合论也成为近代数学的一部分。集合论已被视为是数学的基础理论，不过在一些领域中范畴论被认为是更适合的基础理论。在集合论zfc公理下建立起自然数到实数的严格定义，再由n维实数空间的笛卡儿积，引入n维空间的测度，即Lebesgue测度。数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的

8、子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广为比区间更复杂