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1、天津师范大学本科毕业论文（设计）题目：泰勒展开式中余项的应用学院：数学科学学院学生姓名：学号：专业：数学与应用数学年级：2009级完成日期：指导教师：泰勒展开式中余项的应用摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒展开式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨论两个方面的内容:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒展开式的余项有一个总体认
2、识,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广和应用.关键词：泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数.I目录1引言12预备知识12.1泰勒多项式12.2泰勒展开式的余项22.2.1佩亚诺型余项22.2.2拉格朗日型余项22.2.3积分型余项与柯西型余项32.3泰勒级数33泰勒展开式余项的应用43.1佩亚诺型余项的应用43.1.1极限运算的应用43.1.2判断函数凹凸性及拐点63.1.3判别广义积分收敛性73.1.4判别级数敛散性93.2拉格朗日型余项的应用103.2.1一些等式或不等式的应用103.2.3证明根的唯一存在性133.2.4近似计算与误差估计14
3、4参考文献：15I天津师范大学数学科学学院泰勒展开式中余项的应用1引言泰勒展开式是18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒展开式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒展开式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用,在数学计算和在信息科学的研
4、究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础.事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,对泰勒展开式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒展开式的应用联系在一起,在没有理解泰勒展开式的前提下,写出常见函数的泰勒展开式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒展开式呢?这并不是一件简单的事情，本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,希望能为初学者提供有益的帮助.
5、2预备知识2.1泰勒多项式我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有.即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,其中为多项式的次数.为此我们考察任意次多项式.逐次求它在点处的各阶导数,得到,,,…,,14天津师范大学数学科学学院泰勒展开式中余项的应用即,,,…,.由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式,称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式,的各项系数称为泰勒系
6、数.2.2泰勒展开式的余项2.2.1佩亚诺型余项若函数在点存在直到阶的导数,则,即.上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项.特别的,当时,称泰勒公式的特殊形式.为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.2.2.2拉格朗日型余项若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得.上式同样称为泰勒公式,它的余项为,.称为拉格朗日（Largrange）型余项.当时,得到泰勒公式14天津师范大学数学科学学院泰勒展开式中余项的应用,.为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.2.2.3积分型余
7、项与柯西型余项若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有.其中称为积分型余项.由于连续,在（或）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,这就将积分型余项转化成拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定理,则得到.由于,因此又可进一步把改写为.上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项.2.3泰勒级数函数在处的泰勒公式为.在上式中抹去余项,那么在附近可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶导数,这时称形式为的级数为函数在的泰勒级数.当
