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时间:2018-07-24
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1、桃州中学高三数学二轮复习资料------数学思想分类讨论思想[方法精要] 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况;解到某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.其研究的基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合—分—合”的解决问题的思想,就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法
2、.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素:(1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的
3、分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准
4、统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论.题型一 分类讨论在概念、计算中的应用第9页共9页桃州中学高三数学二轮复习资料------数学思想例1 设集合A={x∈R
5、x2+4x=0},B={x∈R
6、x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的值.破题切入点 B⊆A可分B=∅,BA,B=A三种情况,所以此题需分类并结合一元二次方程根的情况加以研究.解 ∵A={0,-4},B⊆A,于是可分为以下几种情况.(1)当A=B时,B={0,-4},∴由根与系数的
7、关系,得解得a=1.(2)当BA时,又可分为两种情况.①当B≠∅时,即B={0}或B={-4},当x=0时,有a=±1;当x=-4时,有a=7或a=1.又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足条件;②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综合(1)(2)知,所求实数a的取值为a≤-1或a=1.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值.破题切入点 本题中函数的定义域是确定的,二次函数的对称轴是不确定的,二次函
8、数的最值问题与对称轴息息相关,因此需要对对称轴讨论,分对称轴在区间内和对称轴在区间外,从而确定函数在给定区间上的单调性,即可表示函数的最大值,从而求出a的值.解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.(1)当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2,∴a=-1.(2)当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a=(舍).(3)当a>1时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.第9页共9页桃州中学高三数学二轮复习资料------
9、数学思想综上可知,a=-1或a=2.题型三 分类讨论在图象中的应用例3 设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且PF1>PF2,求的值.破题切入点 直角三角形关键是确定直角顶点,由PF1>PF2知,需分∠PF2F1和∠F1PF2分别为直角两种情况即可.解 若∠PF2F1=90°,则PF=PF+F1F,又∵PF1+PF2=6,F1F2=2,解得PF1=,PF2=,∴=.若∠F1PF2=90°,则F1F=PF+PF,∴PF+(6-PF1)2=20,又PF1>PF2,∴PF1=4,PF2=2,∴
10、=2.综上知,=或2.题型四 分类讨论在数列求和中的应用例4 已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求
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