四年级奥数讲义70学子教案库07年春小4第2讲基础教师

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1、第二讲三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不

2、仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。例题精讲【例1】如右图，

3、BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。①求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3

4、倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。①求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2=BC×6三角形EBC的面积=BC×3÷2=BC×1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数【例3】用两种不同的方法，把任意一个三

5、角形分成四个面积相等的三角形．分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE． 法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。　【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一

6、半24÷2=12，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积=6÷2=3。【例5】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?分析：连结FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AF

7、E面积的(3×2)=6倍．因此，平行四边形的面积为8×6=48(平方厘米)．【例6】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.分析：【例7】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？分析：连结BG，在△ABG中，　　　　∴S△ADG+S△BDE+S△CFG　　【例8】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的

8、方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点