高等数学在中学数学中的应用1000例

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1、定理10设函数f(x)在I可导。函数f(x)在区间I是凸函数，且，有。推论若函数f(x)在区间I上存在二阶导数，且（1），有，则函数f(x)在区间I严凸。（2），有，则函数f(x)在区间I严凹。定理11（詹生不等式）若函数f(x)在区间I是凸，则有不等式其中且。利用拉格朗日重要不等式证明不等式例33（101页）证明：若函数在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，且在[a,b]上单调增加（减少），则（）其中a=,(i=0,1,2,···，n),(此不等式称为拉格朗日重要不等式)证明已知函数在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，则在（i=0，

2、1，2，···，n-1）上也满足拉格朗日定理，有（i=0，1，2，···，n-1）又已知在[a,b]上单调增加，则在（i=0，1，2，···，n-1）上也单调增加，从而或（i=0，1，2，···，n-1）于是即类似可证，为单调减少的情形利用凸凹函数证明不等式例38（105页）证明：当（i=0,1,2,····,n）时，有不等式（调和平均数）（几何平均数）（算术平均数）证明分别证明两个不等式，首先证明右端不等式。设，，0，根据定理10推论知，f(x)在内为凸函数，由詹生不等式，令，有或即。其次证明左端不等式，只须令，有，或，即综上所证

3、有。例42（107页）证明：当且时，有不等式。证明设，故f(x)在上是凸函数，由詹生不等式，有，即。若用代替，两边开次方，有若令，有如果用分别代表n个正数的调和平均值，几何平均值，算术平均值和平方平均值，即，，。则。例43（108页）证明：，有不等式证明设根据定理10推论知，f(x)在R上为凸函数，由詹生不等式，，有。当n=2时，有（高中代数习题）例44（108页）证明：当，且时，有不等式证明设则根据定理10推论知，f(x)在R上为凸函数，有詹生不等式，有，即于是注欲证故，设函数为，。例55（赫尔德不等式）（114页）已知且求证：其

4、中。证明有题设条件，则。设则，根据定理10推论知，f(x)在内为凸函数，由詹生不等式，有即或于是，（*）若令，则且则（*）式为若令，且与分别用与代替，则（*）式为或这就是常见的赫尔德不等式形式。例69（122页）证明：当时，有不等式。证明设令，即，解得驻点，且，有，有，知函数在点取极小值，其极小值为由于在上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则，有。令，于是，即例73（124页）证明：，且有不等式证明设，且，，有，故函数在（-1，0）内严格减少；，有，故函数f（x）在内严格增加，显然f(x)在点x=0连续。有或即例75

5、（125页）证明不等式（杨格不等式，英国数学家）其中。证明设，则令，即解得唯一一个驻点，且，有，有。知，函数在点x=1取极大值，其极大值为由于f(x在)上连续，且只有一个驻点，因此这个极大值点就是最大点，则，有。令即例78（127页）证明：（1）证明于是函数即（1）式得证。特别，若在（1）式中，（2）若在（2）式中，若在（1）中，令，若在（1）中，令。利用柯西不等式证明不等式例79（128页）称此不等式为赫尔德不等式。证明设代入例75的不等式中，有，将即特别是，当称为柯西---施瓦兹不等式。例81（129页）已知证明例83（130页

6、）已知证明例89（131页）证明（一）。于是，。（二）例14（156页）证明：证明设（1）（2）只须证明用反证法，假设则（3）同理（4）由（3）与（4）得或，从而例18（159页）证明：（1）。（2）证明，对上式两端求导，得令，则令，则。应用例题例1（162页）分解因式解将对上式求原函数，有从而令于是，。例2（163页）分解因式解，对上式求原函数，有从而。令于是，例1（170页）计算解令対上式求原函数，有则从而即原式=。例2（171页）证明：。证明设是星型线上任一点，将星型线方程对求导，得过点M的切线方程为于是，二坐标轴所截线段长为

7、例3（171页）已知，求解不失一般性，令则（*）将，或则故函数取于是，为所求的最小值。例2（188页）解方程解将方程变形为而4，均是R上的函数，且，函数同解，解此方程，得。例13（195页）解下列方程：解（1）由于设显然，故。解此方程得，代入原方程验证即为原方程的根。（2）由于设现然，故函数或同解。解此方程得，代入原方程验证即为原方程的根。弦位法（206页~211页）如下图，将上的曲线弧AB的两端连成弦AB，用弦AB与X轴的交点横坐标为方程根的近似值，这种方法称为弦位法。如果与同号，令，以点为已知点的弦AB方程为令y=0，求得这弦与

8、x轴的交点横坐标是（1）如果横坐标是（2）由上图可见，弦AB与x轴的交点的横坐标更接近方程根，用同样方法，从新区间如此继续下去，一般地，从（3）或（4）满足（4）式的近似根数列，有在设（5）这样，由（5）式就可以判定近似根例8（208