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1、基于分数阶微积分运算的数字滤波器设计摘要分数阶微积分由于其对信号分析和处理的独特性质，实现的阶次灵活性，较高的自由度，被逐渐应用于工程实践中，并取得很好的应用效果。目前分数阶微积分应用在多个领域中：控制理论、信号处理、机械力学、电子学、化学、生物学、经济学、流变力学、机器人、材料科学、岩石力学、地震信息处理、分形理论、电磁场理论等。特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地实现和提出，如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像处理、系统辨识、系统稳定性分析等等。所以对分数阶微积分在工程上的研究具有
2、十分重要的意义。关键词：分数阶微积分，信号滤波，图像处理AbstractBecauseoftheuniquepropertiesofanalysisandprocessingofsignal,theflexibilityofdegreeinrealizing,thefractionalorder,Calculus(FOC)isgraduallyappliedinengineeringpractice,andhavegotexcellentapplicationeffect.AtpresenttheFOCi
3、sappliedinmanyfields:controltheory,signalprocessing,mechanicalmechanics,electronics,chemistry,biology,economics,rheologicalmechanics,robot,materialsscience,rockmechanics,earthquakeinformationprocessing,fractaltheory,electromagneticfieldtheoryandsoon.Espec
4、iallyintheinformationscience,somenovelapplicationsareconsecutiverealizationandputsforward,suchasthesystemmodeling,thecurvefitting,signalfiltering,patternrecognition,imageprocessing,systemidentification,thesystemstabilityanalysis.So,theresearchofFOChasthev
5、eryvitalsignificance.Keyword:FOC,signalfiltering,imageprocessing1引言1.1分数阶微积分发展历史分数阶微积分诞生于300年前，几乎与整数阶微积分运算有着同样的悠久历史。在1695年Leibniz在写给L.Hospital的一封信中，Leibniz提出了这样一个问题：如果将整数阶的微分推广到分数阶的微分，那么分数阶微分的意义是什么呢？L.Hospital也觉得该问题十分有趣，在回信中对Leibniz问到这样一个问题：如果微分的阶数是1/2，这是
6、什么意义呢？在1695年9月30日，Leibniz在回信中描述到：这是一个费解的论题，但是终将有一天会从这里得到有用的结论（Itwillleadtoaparadox,fromwhichonedayusefulconsequenceswillbedrawn.）。从分数阶微积分提出之后，许多大科学家就这一问题进行了探讨。Euler在1730年对微分阶次为分数阶次的情形给出了自己的解释。Lagrange在1772年提出了整数阶微分运算阶次的可叠加性性质，但是尚不知道对于分数阶微分运算，是否同样具有该性质。Lap
7、lace在1819年给出了一些特定的分数阶微分运算表达式。1822年Fourier给出了分数阶微分的Fourier定义。分数阶微积分自1695年提出以来，虽经历了300多年的发展，然而，分数阶微积分在工程实际中的应用直到上世纪后半叶才开始，此前，都只是数学家的纯理论工作。但是，自GemantA在1936采用分数阶微积分研究粘弹性体问题和ManabeS在60年代将分数阶微积分应用于控制中，以及Mandelbrot发现分形，并将Riemann-Liouville分数阶微积分应用于分析和研究分形媒介中的布朗运动
8、后，分数阶微积分很快受到工程技术人员的关注。为了促进分数阶微积分的发展和应用，在1974年RossB组织了第一届分数阶微积分及其应用会议，同年，OldhamKB和SpanierJ出版了第一部分数阶微积分专著，此后，不断有分数阶微积分方面的专著和书出版，如MillerK和RossB(1993)、SamkoS、KilbasA和MarichevO(1993)、NishimotoK(1984，1987，1989，1991)和Kirya
