2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：3.3.2 函数的极值与导数

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.3.2　函数的极值与导数[学习目标]　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一　极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，

2、函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.思考　极大值一定大于极小值吗？答案　不一定.知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f

3、(x0)是极小值.题型一　求函数的极值例1　求函数f(x)＝－2的极值.解　函数的定义域为R.72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f

4、′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.跟踪训练1　已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2答案　D解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当

5、x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.题型二　利用函数极值确定参数的值例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.　③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.72017-2018学年

6、高中数学人教A版选修1-1教学案(2)f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1

7、　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：(1)x0的值；(2)a，b，c的值.解　(1)由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，得解得a＝2，b＝－9，c＝12.题型三　函数极值的综合应用例3　设

8、函数f(x