方型烤箱上平底锅最优设计

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1、数学建模组员：指导老师：26方型烤箱上平底锅最优设计摘要众所周知在烹饪时矩形锅的热集中在四角导致食物被烤焦；而在圆锅热烘烤是，热量均匀分布在整个外边缘从而使食物不会被烤焦。由于缺乏烤箱空间利用效率，圆锅并不是最好的选择。我们的任务是解决食物加热不均匀和容易边缘烤焦这一难题，提出了一种用于烘烤盘的优化设计。我们要做的是得到平底锅的热量分布与固定面积的烤箱中所能放的平底锅的最大数量和平底锅的形状之间的关系，本文将通过建立相关模型，运用Matlab软件进行求解。问题一，为了说明在一个特定烤盘的热分布情况，根据热传导规

2、律对一个三维对象的推导我们首先构造了在不同形状下的平底锅热分布模型，如方形、正六边形、圆形等。其次，引入有限元法求解该二维传递模型的稳态解。并利用Matlab提供的PDEtool工具得到二维热传递模型的数值解。最后得到不同多边形烤盘温度方差表，通过表格我们得到了可用边缘热分布的标准差来衡量烤盘热分布的均价程度。问题二，我们分为三种情况讨论:p=1,p=0,0

3、时正四边形，正六边形，正八边形，圆对应的目标函数值。并依照数据画出单一变量对应的直方图或折线图，最后得到相应的变化趋势，即动态最优解。问题三，以美食杂志社的身份写一页最符合前两题要求的平底锅的宣传广告。通过描写平底锅的用途和圆角矩形型的平底锅的材料以及外形，用简洁明了的语言写出平底锅在加热和空间利用率方面比其他平底锅的优势。关键词：热分布；二维热传递；遗传算法；最优解26一.问题重述随着人民生活的日益富裕，大家对食物的追求也越来越多样。各种烤出来的美食，比如烤煎饼，在一个方形的大烤箱上，可以放上多个平底锅。从我

4、们的生活常识中可知，如果平底锅是方形的，那在烤饼时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。但是，现行使用的大部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤箱内烤东西的话空间利用率会很低。在深入考虑这些问题之前我们先做必要的约定：1.烤箱是一个宽长之比值为的方形烤箱；2.每个平底锅的面积都相同，记为，也就是不管你选择什么形状的平底锅，其面积都不能变；3.左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀。在

5、此基础上，我们将通过建立模型来求解以下问题：问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：条件1.能在烤箱上放最多的平底锅；条件2.使热量分布的均匀程度最大化；条件3.最好地结合条件1和条件2，假设两条件分别占权重记为和，请分析最优选择结果是如何随烤炉的宽长比及权重的变化而变化的。问题三：以你的研究结果，以美食杂志社身份向广大民众宣传的角度，写1页的宣传广告。需要突出你的设计和结果。二.问

6、题分析2.1问题一的分析本题研究的是不同形状的平底锅在加热食物时的热量分布，要建立一个模型来反映平底锅的热量分布情况，首先我们要了解平底锅受热时与烤箱和外界空气之间的热传递方式。在大部分温度可控的烤箱中，由于箱内气体温度可保持恒定，导致食物边缘烤焦的不均匀热源主要来自金属烤盘。故本模型应着重分析烤盘的热传递过程。接着我们可以通过热传导方程构造二维热传递模型来进一步分析平底锅在不同外形下的热量分布。通过有限元分析法及Matlab软件来求得该模型稳态解及数值解。262.2问题二的分析本题想要选择一种平底锅的形状，使

7、其既能满足条件1所要求的在烤箱中尽可能的利用空间，也能满足条件2提出的热量分布均匀程度高，面对这样的情况我们需要对此问题进行最优化处理。而对于此题的最优化问题，我们可以运用遗传算法进行排样优化，寻找最优排样图。条件3要求的对于条件1与2的权重问题，我们可以先建立一个关于此问题的目标函数，在求得目标函数值最小时的同时确定我们所需要的平底锅形状。2.3问题三的分析此题要求以美食杂志社身份攥写一篇一页的宣传广告，则我们在具体对平底锅进行描写时就不能像往常写作一样用字过于生硬。在写此篇文章时，我们要以宣传通过外形设计的

8、平底锅的优点为主，尽量要用轻松诙谐的语调让人看到此篇文章便能抓住我们设计的平底锅的与众不同。三.基本假设1.假设烤箱的温度达到一定值时不再发生变化且导热性能良好。2.假设平底锅材质均匀且导热性能良好，厚度适中。3.假设外界环境的变化不会对结果有太大的影响。4.烤盘温度逐步增加到保持恒定的过程不是我们主要关注的问题之一，我们的模型只考虑烘烤温度达到并保持在一个稳定的水平。5.锅的材料是均