入团申请书抄的可以吗(共篇)

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1、第五章留数定理留数定理是柯西积分理论的继续，可以说，它进一步展现了复变函数积分的细节内情，使我们对复积分有了更深刻的认识。§5.1孤立奇点若在点的某一去心邻域内解析，但在点不解析，则称为的孤立奇点。若是的一个奇点，且在点的无论多么小的邻域内总还有除点外的其它奇点，则称点为的非孤立奇点。例如，为的孤立奇点，为的非孤立奇点。去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。若为的一个孤立奇点，则总存在着正数，使得在点的去心邻域内可展成洛朗级数。这里的正数，显然最大可取为与的离最近的一个奇点间的距离。在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤

2、立奇点的洛朗展开。1.孤立奇点的分类设为函数的有限孤立奇点，在去心邻域内的洛朗展式为。前面已知，右边第二个级数称为在点的解析部分，其和函数在包括点的邻域内是解析的，故在点的奇异性质完全体现在的洛朗展式的负幂项部分，所以从出现奇异性来说，我们称为在点的主要部分。根据主要部分仅可能出现三种情况，将的有限孤立奇点作如下分类：定义5.1.1：设为的有限孤立奇点。（1）若在点的主要部分为零，则称为的可去奇点。（2）若在点的主要部分为有限多项，设为，则称为的阶极点。一阶极点也称为简单极点。（3）若在点的主要部分有无限多项，则称为的本性奇点

3、。【注】：定义中的第（1）种情形为什么叫可去奇点？其由来是：因主要部分为零，函数在可去奇点去心邻域内的洛朗展式只有非负幂项的解析部分，前面已知，这解析部分的和函数在包括点的邻域内解析，。于是在内，当我们适当补充或改变在点的定义，令之后，在邻域内就没有奇点了。这就是可去奇点名称中“可去”的由来。下面几个在洛朗展式基础上证明的定理，分别描述了解析函数在三类有限孤立奇点附近的性态，也给出了各类奇点的判别法。103定理5.1.1：若为的孤立奇点，则下列两条中的每一条都是为阶极点的充要条件：（1）在点的主要部分为；（2）在点的某去心邻域

4、内能表成，其中在点的邻域内解析，且；2.解析函数在有限孤立奇点的性质定理5.1.2：若为的孤立奇点，则下列三条中的每一条都是为可去奇点的特征（即每一条都是为可去奇点的充要条件）：（1）在点的主要部分为零；（2）（有限复数）；（3）在点的某去心邻域内有界。定理5.1.3：的孤立奇点为极点。定理5.1.4：的孤立奇点为本性奇点不存在有限或无限的极限。3.解析函数的零点与极点的关系定义5.1.2：设函数在点的某邻域内解析。若，则称为解析函数的零点。若，但，则称为解析函数的阶零点。特别，当时，也称为的简单零点。若在邻域内解析，不恒为零

5、，则为的阶零点时，在内的泰勒展式形式为。右端提取公因式，并记，容易证明在邻域内解析，且。于是在邻域内有。反之，当在内解析，并能表成上述形式时，由泰勒定理中的关系式，立即可知为的阶零点。这样我们就证明了下述定理：定理5.1.5：不恒为零的解析函数以为阶零点在点的邻域内，其中在邻域内解析，且。解析函数的零点与极点，有如下关系：定理5.1.6：若为的孤立奇点，则为阶极点的充要条件是为的可去奇点，将作为的解析点看待，为的阶零点。1034.解析函数在无穷孤立奇点的性质定义5.1.3：若函数在无穷远点去心邻域内解析，则称点为的一个孤立奇点

6、。若点是的奇点的聚点，则点是的非孤立奇点。定义5.1.4：设为的孤立奇点，作倒数变换后有。若为的可去奇点（视为解析点），则称为的可去奇点（解析点）；若为的阶极点，则称为的阶极点；若为的本性极点，则称为的本性极点。我们可按广义连续性来定义函数在点处的值：定义。同样虽在点处没有定义差商，从而没有定义函数在无穷远点处的可微性，但现在有了定义5.1.4之后，今后我们称在点解析，其意义是指：点为的可去奇点，且定义。设由上面式确定的在去心邻域内的洛朗展式为，换回到变量，即令，就得到在无穷远点去心邻域内的洛朗展式,(5.1.1)其中，即在原

7、点去心邻域的展式中的负幂项系数，与在无穷远点去心邻域的展式中的相应正幂项系数相等,而前者展式中的正幂项系数与后者负幂项相应系数相等。根据这个关系，应用对有限孤立奇点的讨论结果，我们得知，就洛朗展式看：可去奇点展式(5.1.1)中不含的正次幂，为的阶极点展式(5.1.1)中只有有限个正次幂，且最高次幂为，本性奇点展式(5.1.1)中有无限多个正次幂。就函数的极限值看：可去奇点（有限复数），为的阶极点，本性奇点不存在。103§5.2留数5.1留数的定义我们知道，若于闭路（即围线）上及其内部解析，则依柯西积分定理有；但若内含有的孤立

8、奇点，则不一定等于。对于后者情况，现在我们先把进行罗朗展开，然后再来对它进行积分：事实上，设于去心邻域内解析，则它有罗朗展式此级数在上述去心邻域内的围线上一致收敛，故沿该围线可逐项积分，所以对上式两边积分，有但该式右端除了这一项外，全部等于（依据书中例3.1.4的积分得），于