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1、资料2012年全国初中数学联赛试题谜底2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分，每小题7分)1(已知，，，那么的大小c,,62b,,32a,,21abc,,关系是(C)abc,,acb,,bac,,A.B.C.bca,,D.222(方程的整数解的组数为(,)xyxxyy，，,2334(B)A(3.B(4.C(5.D(6.3(已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE,1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长(D)为65262
2、5A(B(C(D(33332244ab，,1aabb，，4(已知实数满足，则的最小值为ab,(B)19,A(.B(0.C(1.D(.882xx,5(若方程的两个不相等的实数根满足xpxp，,,,2320122323pxxxx，,,，4()，则实数的所有可能的值之和为1122(B)3,,1A(0.B(.C(.45,D(.4abcd6(由1，2，3，4这四个数字组成四位数(数字可重复使用)，要求满足acbd，,，.这样的四位数共有(C)A(36个.B(40个.C(44个.D(48个.二、填空题:(本题满分28分，每
3、小题7分)1111(已知互不相等的实数满足，则abct，,，,，,abc,,bca(,1t,m2(使得是完全平方数的整数的个数为1(521，，m3(在?ABC中，已知AB,AC，?A,40?，P为AB上一点，?ACPBC,20?，则,(3APabc,,1abc，，,44(已知实数满足，，abc,,abc4222，则abc，，,，，,222aabbcc,,,,,,313131933(2第二试(A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解abc,,abc，，,30设直角
4、三角形的三边长分别为()，则.abc,,显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.ccabc,,abc，，,30303,，，,abccc,10由及得，所以.abc，,abc，，,30302,，，,abccc,15由及得，所以.1114,,cc又因为为整数，所以.222cab,,,30abc，,根据勾股定理可得，把代入，化简得abab,，，,30()4500，所以22，(30)(30)450235,,,,，，ab2,305,,,a,ab,因为均为整数且，所以只可能是解得ab,,23023,,,，b,,a
5、,5,,,b,12.,169c,13所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.,4二((本题满分25分)如图，PA为?O的切线，PBC为?O的割线，AD?OP于点D.证明:A2.ADBDCD,,ODPBC证明:连接OA，OB，OC.2PAPDPO,,?OA?AP，AD?OP，?由射影定理可得，2ADPDOD,,.2PBPCPDPO,,,PAPBPC,,又由切割线定理可得，?，?D、B、C、O四点共圆，??PDB,?PCO,?OBC,?ODC，?PBD,?COD，??PBD??COD，PDBD2,ADPD
6、ODBDCD,,,,?，?.CDOD12yxbxc,,，，三((本题满分25分)已知抛物线的顶点为P，6y(,0)x(,0)xxx,与x轴的正半轴交于A、B()两点，与轴交于点21213(0,),C，PA是?ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的2解析式.32(3,)bbc，解易求得点P，点C(0,)c.2设?ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直(3,)bm平分线上，设点D的坐标为.12显然，是一元二次方程的两根，所以,，，,xbxc0xx,12622xbbc,,，396，x
7、bbc,，，396，又AB的中点E的坐标为212，所以AE,.96bc，(3,0)b因为PA为?D的切线，所以PA?AD，又AE?PD，所以由射影定理32222m,0可得，即，又易知，AEPEDE,,(96)()
8、
9、bcbcm，,，,2m,,6所以可得.22又由DA,DC得，即DADC,22222m,,6，把代入后可解得(96)(30)()bcmbmc，，,,，,c,,6c,0(另一解舍去).3
10、
11、,2396bbc,，OAOM2,又因为AM//BC，所以，即.,2
12、6
13、,OBOC396bbc，，55c,,6b,
14、把代入解得(另一解舍去).b,,22152因此，抛物线的解析式为yxx,,，,6.62第二试(B)一((本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.abc,,解设直角三角形的三边长分别为()，则abc,,abc，，,60.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.ccabc,,abc，，,60603,，，,abccc,20由及得，所以.abc
