《常微分方程》(第三版)——答案

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1、常微分方程2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：-89--89-12．解-89-15．16．解：，这是齐次方程，令17.-89-解：原方程化为令方程组则有令当当另外-89-19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得-89-20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所

2、以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)=e()-89-=e()=是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解.6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.-89--89--89--89-13这是

3、n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式-89-==15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==-89-16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞

4、分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28-89-）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：（3）（4）1）先证是（2.28）的一个解。于是得故是（2.28）的一个解。-89-2）现证方程（4

5、）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则（4’）于是（4’）-（4）得从而即所以，命题成立。（1）设，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为-89-即横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为

6、于是所以，方程的通解为。（6）方程变形为于是-89-所以，方程的通解为。22．求解下列方程。（1）解：===（2）P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式===习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.-89-解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：2．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3．解：则.因此此方程是恰当方程。（1）（2）-89-对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则故此方程的通解为4、解：，..则此方程为恰当方程。凑微分，得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0-89-解

7、：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=

8、0exdx+3xydx+2xydy=0