方差与频率分布-中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练

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1、2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布◆知识讲解1．方差的定义在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2=[（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2]．2．方差的计算（1）基本公式S2=[（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2]（2）简化计算公式（Ⅰ）S2=[（x12+x22+…+xn2）－n2]，也可写成S2=（x12+x22+…+xn2）－2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．（3）简化计算公式（

2、Ⅱ）S2=[（x`12+x`22+…+x`n2）－nx`2]．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么S2=[（x`12+x`22+…+x`n2）－n`2]，也可写成S2=（x`12+x`22+…+x`n2）－`2．记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．3．标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即S==4．方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动

3、情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．5．频率分布的意义前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布．6．研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤：①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率

4、分布直方图．（2）频率分布的有关概念：①极差：最大值与最小值的差；②频数：落在各个小组内的数据的个数；③频率：每一小组的频数与数据总体（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．（3）几个重要的结论：①各小组的频数之和等于数据总数；②各小组的频率之和等于1；③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；④各小长方形的高与该组频数成正比．◆例题解析例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（单位：分）甲组：86828785乙组：85818589（1）分别计算这两组数据的平均数；（2）分别计算这两组数据的方差；（3

5、）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．【解答】（1）甲=（6+2+7+5）+80=85，乙=（5+1+5+9）+80=85．（2）S甲2=[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2=[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．例2为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取

6、了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：4：6：5：3，其中1.80～2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：（1）这次调查的样本容量为______，2.40～2.60这一小组的频率为_____．（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由；（3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）的约有多少人？【分析】样本容量是样本数

7、据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组．【解答】（1）由于1.80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分，故样本容量为：8÷=40．2.40～2.60这个小组的频率为3÷20=0.15．（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2.00～2.20这个小组，则中位数落在2.00～2.20这个小组．（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m．（4）初中男生立定

8、跳远成绩在2.00m以上的约有×500=350（人）．【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解