方差与频率分布-中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练

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1、2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布◆知识讲解1.方差的定义在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.通常用“S2”表示,即S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].2.方差的计算(1)基本公式S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2](2)简化计算公式(Ⅰ)S2=[(x12+x22+…+xn2)-n2],也可写成S2=(x12+x22+…+xn2)-2,此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.(3)简化计算公式(

2、Ⅱ)S2=[(x`12+x`22+…+x`n2)-nx`2].当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组数据x`1=x1-a,x`2=x2-a,…x`n=xn-a,那么S2=[(x`12+x`22+…+x`n2)-n`2],也可写成S2=(x`12+x`22+…+x`n2)-`2.记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.3.标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用“S”表示,即S==4.方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动

3、情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.方差较大的数据波动较大,方差较小的数据波动较小.5.频率分布的意义前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征:平均水平和波动大小.但是在许多问题中,只知道这些还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布.6.研究频率分布的一般步骤及有关概念(1)研究样本的频率分布的一般步骤:①计算极差(最大值与最小值的差);②决定组距与组数;③决定分点;④列频率分布表;⑤画出频率

4、分布直方图.(2)频率分布的有关概念:①极差:最大值与最小值的差;②频数:落在各个小组内的数据的个数;③频率:每一小组的频数与数据总体(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率.(3)几个重要的结论:①各小组的频数之和等于数据总数;②各小组的频率之和等于1;③频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,各小长方形面积之和等于1;④各小长方形的高与该组频数成正比.◆例题解析例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位:分)甲组:86828785乙组:85818589(1)分别计算这两组数据的平均数;(2)分别计算这两组数据的方差;(3

5、)哪个学习小组学生的成绩比较整齐?【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.【解答】(1)甲=(6+2+7+5)+80=85,乙=(5+1+5+9)+80=85.(2)S甲2=[(86-85)2+(82-85)2+(87-85)2+(85-85)2]=3.5,S乙2=[(85-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2]=8.(3)∵S乙2>S甲2,∴甲组学习成绩较稳定.【点评】方差是反映一组数据波动大小的量.例2为了迎接全市体育中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的500名男生中随机抽取

6、了部分男生的测试成绩(单位:m,精确到0.01m)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值).已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:4:6:5:3,其中1.80~2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:(1)这次调查的样本容量为______,2.40~2.60这一小组的频率为_____.(2)请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;(3)样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?(4)请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2.00m)的约有多少人?【分析】样本容量是样本数

7、据,不带单位,确定中位数时,首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组.【解答】(1)由于1.80~2.00小组的频数为8,占总份数中的4份,总份数是20分,故样本容量为:8÷=40.2.40~2.60这个小组的频率为3÷20=0.15.(2)由于样本容量是40,则中位数是第20人和第21人成绩的平均数,而第20人和第21人的成绩均在2.00~2.20这个小组,则中位数落在2.00~2.20这个小组.(3)因为第一组到第五组人数依次为4人,8人,12人,10人,6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m.(4)初中男生立定

8、跳远成绩在2.00m以上的约有×500=350(人).【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1,掌握它是解

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