量子力学习题答案

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1、2.1如图所示U(x)U0左ψ1(x)右ψ2(x)0x设粒子的能量为E，下面就E>U0和EU0的情形此时，粒子的波函数ψx所满足的定态薛定谔方程为d2ψ1dx2+k12ψ1=0d2ψ2dx2+k22ψ2=0其中k12=2mℏ2E,k22=2mℏ2(E-U0)其解分别为ψ1x=Aeik1x+A'e-ik1xψ2x=Beik2x+B'e-ik2x（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以B'为零由波函数的连续性ψ1x

2、x=0=ψ2x

3、x=0得A+A'=Bdψ1dx

4、x=0=dψ2dx

5、x=0得k1A-k1A

6、'=k2B解得A'=k1-k2k1+k2AB=2k1k1+k2A由概率流密度公式J=ℏ2mi(ψ*∇ψ-ψ∇ψ*)入射Jλ=ℏk1m

7、A

8、2JR=ℏk1mA'2,JT=ℏk2m

9、B

10、2反射系数R=JRJλ=A'A2=k1-k2k1+k22透射系数T=JTJλ=BA2=k2k12k1k1+k22（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以A为零同理可得两个方程B+B'=A'k2B-k2B'=-k1A'解B=k2-k1k2+k1B'A'=2k2k2+k1B'Jλ=ℏk2m

11、B'

12、2JR=ℏk2mB2,JT=ℏk1m

13、A'

14、2反射系数R=B

15、B'2=k2-k1k2+k12透射系数T=A'B'2=k1k22k2k2+k12（二）E

16、x=0=ψ2x

17、x=0得A+A'=B'dψ1dx

18、x=0=dψ2dx

19、x=0得ik1A-ik1A'=-k3B'解得A'=ik1+k3ik1-k3AB'=2ik

20、1ik1-k3A入射Jλ=ℏk1m

21、A

22、2JR=ℏk1mA'2,JT=0反射系数R=JRJλ=A'A2=1透射系数T=JTJλ=0(2)粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以A为零同理可得方程A'=B'Jλ=0JT=ℏk12mA'2JR=0由于全部透射过去，所以Jλ=0反射系数R=0透射系数T=12.2U(x)如图所示U0E0dxU0-EαU0αx在0∼U0-Eα有隧穿效应，粒子穿过垒厚为dx的方势垒的透射系数为Tdx=T0e-2ℏ2mUx-Edx,T0=16EU0-EU02总透射系数T=T0e-2ℏ0U0-Eα2mUx-Edx=T0

23、e-2ℏ0U0-Eα2mU0-αx-Edx=T0e-42m3αℏU0-E322.3以势阱底为零势能参考点，如图所示（1）∞Ux∞左ψl中ψ右ψr0ax显然ψl=ψr=0E>0时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为d2ψdx2+k2ψ=0k2=2mℏ2E其解是ψx=Asinkx+φ由波函数连续性条件得Asinφ=0Asinka+φ=0∴φ=l1π,ka+φ=l2πka=l1-l2π=nπn=1,2,3,4…∴E=n2π2ℏ22ma2相应的k=nπaψnx=Asinnπax+l1π=±Asinnπax因为正负号不影响其幅度特性可直接写

24、成ψnx=Asinnπax由波函数归一化条件得0aψnx2dx=A20asin2nπaxdx=A20a1-cos2nπax2dx=a2A2=1A=2a所以波函数ψnx=2asinnπax（2）∞Ux∞左ψl中ψ右ψr-a20a2x显然ψl=ψr=0E>0时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为d2ψdx2+k2ψ=0k2=2mℏ2E其解是ψx=Asinkx+φ由波函数连续性条件得Asin-ka2+φ=0Asinka2+φ=0∴-ka2+φ=l1π,ka2+φ=l2π2φ=l1+l2π=lπφ=lπ2当l=2m，m为任意整数，φ=mπ

25、则ka=2m-l1π=2l2-mπ=2n1π,n1=1,2,3…当l=2m+1，m为任意整数，φ=mπ+π2则ka=2m-l1π+π=2l2-m+1π+π=2n1+1π综合得ka=nπ,n=1,2,3…∴E=n2π2ℏ22ma2当n=2n1时，φ=mπ，波函数ψnx=Asinnπax归一化后ψnx=2asinnπax当n=2n1+1时，φ=mπ+π2，波函数ψnx=Acosnπax归一化后ψnx=2acosnπax2.4如图所示∞UxU0左ψl中ψm右ψr0a显然ψl=0在中间和右边粒子的波函数ψx所满足的定态薛定谔方程为d2ψmdx2+k

26、12ψm=0d2ψrdx2-k22ψr=0其中k12=2mℏ2E,k22=2mℏ2(U0-E)其解为ψmx=Asink1x+φψrx=B'ek2x+Be-k2x由在右边波函数的有