捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题

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1、捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题章栋恩为了说明标题中出现的数学模型的重要性，我在这里首先引用MCM评阅人的一段话。2009MCMJudges’Commentary—ProblemBByMarieVanisko,CarrollCollege,Helena,MontanaGeneralRemarks………..TheProblemandSelectedModelingApproaches…………Interestingmodelswereconstructedforthetransiti

2、onalphaseofthecellphone“takeover.”SometeamsconsideredthespreadofcellphonesasthespreadofadiseaseandusedtheVerhulstmodelforlogisticgrowth,usingthepopulationoftheUnitedStatesasthecarryingcapacityandestimatingtherateofgrowthofcellphonesfrompublishedreport

3、sonthegrowthofcellphoneuseintheUnitedStates.OtherteamsgeneralizedthistoanSIRmodelorusedtheLotkaVolterrapredator‐preymodel,withcellphonesasthepredatorsandlandlinephonesastheprey.Afewusedthecompetingspeciesmodel.Thejudgeslookedveryfavorablyuponmodelsfor

4、whichsufficientrationalewasgivenastowhythatmodelmightbeappropriateinthiscircumstance.Interpretationoftheparametersandsolutionsastheyappliedtotheproblemathandwasessential.因为捕食者—被捕食者、共生、竞争三种模型都属微分方程组建模问题，在美国微积分教科书和数学建模教材中都有研究。因此想比较彻底地解决掉它的参数问题。机理分析的方法和回

5、归分析方法将证明是都很重要的。我在上一篇文章中谈到了兔子和狼的数量关系的捕食者—被捕食者（Predator-PreyModels）模型：在这个模型中，第一个方程是描述兔子的。而且根据方程的第一部分看到假定兔子在没有狼的情况下，数量是按照指数模型增长的。方程中一项是描述被捕食数量的。系数-0.001反映捕食的效率。可以认为在没有狼时对兔子数量用指数模型也不够准确。因此常常用逻辑斯谛模型代替指数模型，则建立起如下模型（方程是原封不动地从微积分教科书中拿来的）注意第一个方程的这一部分就是兔子数量的逻辑斯

6、谛模型。如果对狼的增长率（减少率）也用逻辑斯谛模型，则捕食者—被捕食者模型也可以是这样（predator‐preymodel）这里的系数都是正的（再次问：之间有何关系？答：等于乘以群体x的最大承载量，a与b也有类似关系）。如果系数已知，方程组需要用Matlab数值求解。关于稳定性分析，则需要在相平面内进行。这里就不讨论了。现在的问题是，上一篇文章中使用的回归求参数的方法在这里是否适用？我也作了实验验证，结论是——照搬是不行的（这就是数学建模魅力所在！）。可能的原因是参数增加以后，需要的数据较多，而

7、在实际建模问题中这是不现实的。也可能是多了参数以后，模型会变得不可识别。但只要通过模型的机理分析，确定6个参数中的2个（比如），余下的参数就可以回归了。当然，如果你能从机理上分析得到全部6个参数也是好的（生物学家常常这样）。总之，把机理分析与回归结合起来！有时还需要对个别参数在可能的区间上用小步长搜索，再与数据对照，选择得到最合理的模型参数。为了说明机理分析确定参数，以我在最优化一讲中的一个习题为例：生态学家用下面的模型来反映两个竞争的种群的数量增长过程（competingspeciesmodel

8、）其中变量x，y为每个种群的数量（如果去掉方程组右端的最后项，则群体数量都按逻辑斯谛增长）。参数是每个种群的内稟增长率；为没有竞争时环境资源可允许的最大可生存的种群数量；为竞争的影响。通过对蓝鲸和长须鲸的数量的研究，这些参数的值如下（时间t以年为单位）：蓝鲸长须鲸0.050.08150000400000………显然，蓝鲸—长须鲸模型中，如果没有对方的存在，它们各自的数量是按照逻辑斯谛模型增长的。这模型与捕食者—被捕食者模型的区别在于方程右端各项系数前面的正负号！像柑桔树上两种寄生虫的