线性代数 复习资料

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1、第一章行列式知识点：1.逆序数2.行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即（2）交换行列式的两行（或列），行列式变号（3）若行列式中有两行（或列）相同，则该行列式为零。（4）用数k乘行列式的某一行（或列），等于用数k乘此行列式（5）行列式中若有两行成比例，则该行列式为零。（6）将行列式的某一行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式不变。3.行列式的计算（1）行列式的性质（2）三角化（三角行列式和对角行列式）（3）降阶法（行列展开）（4）特征值法4．余子式和代数余子式5．范德蒙行列式6.两

2、个特殊的拉普拉斯展开式7.克莱姆法则解方程组第一章矩阵1.矩阵的定义2.两个矩阵相等：即矩阵对应的元素要相等3.几种特殊的矩阵：行矩阵，列矩阵，对角矩阵，单位矩阵，数量矩阵1.n阶方阵的行列式或的运算性质（1）（2）（3）方阵的幂：为方阵A的k次幂（1）（2）5.对称矩阵：n阶方阵满足反对称矩阵：n阶方阵满足6伴随矩阵：基本性质：若可逆，则，7.矩阵的线性运算规则：8.矩阵乘法的运算规则：9.矩阵可交换：若10.转置矩阵的运算性质：11.逆矩阵（1）定义（2）n阶矩阵可逆的等价条件：线性无关非奇异

3、（3）求逆矩阵的方法：1.伴随矩阵法2.初等行变换（4）逆矩阵的运算性质1．若矩阵A可逆，则其逆矩阵也可逆，且2．若矩阵A可逆，，则3.4.5．12.矩阵方程13.分块矩阵14.初等变换（三种）和初等矩阵关于初等变换的几个重要定理：15.矩阵等价：反身性，对称性，传递性16.矩阵的秩：（1）定义（2）矩阵秩的求法：初等行变换化为行阶梯行矩阵（3）矩阵秩的性质1.2.3.矩阵秩不改变：1.初等变换2.乘以可逆矩阵，即若B为可逆矩阵，则3.等价的矩阵秩相等4.相似矩阵的秩相等第三章线性方程组线性无关1

4、.齐次线性方程组解的判定，若将矩阵列分块为线性相关通解的结构：是的基础解系，则通解为为任意实数2.非齐次线性方程组解的判定无穷解无解通解的结构：是的解，是的基础解系，则其通解为：为任意实数3.向量组的秩，即用初等行变换将矩阵化为行阶梯矩阵，非零行的行数即矩阵A的秩。4.向量组的极大无关组：5.向量组线性相关：向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示矩阵的秩，为向量的个数。若矩阵为方阵，线性无关当向量组中向量的个数大于向量的维数时，即当矩阵为阶时，若，则向量组线性相关。（5）若向量组中有一部分向量

5、线性相关，则整个向量组线性相关。即部分相关则整体相关。（6）若线性无关，而线性相关，则向量可由唯一地线性表示。6.向量组线性无关：（1）定义（2）矩阵的秩，为向量的个数。（3）若矩阵为方阵，线性无关（4）线性无关的向量组中的任一部分组都线性无关。即整体无关则部分无关。7.两个向量组等价：向量组：与向量组：能相互线性表示。两个向量组之间的线性关系：（1）向量组能由向量组线性表示，若，则向量组线性相关。（2）向量组能由向量组线性表示，若向量组线性无关，则。向量组能由向量组线性表示，则（3）向量组与可以

6、相互线性表示，若与都是线性无关的，则。等价的向量组的秩相等。8.向量空间，向量空间的一组基和维数9.中的坐标变换公式，过渡矩阵第四章矩阵的特征值1.内积的定义与性质,向量的长度与性质,向量间的夹角2．向量的正交3.规范正交基的求法4.正交矩阵5.矩阵的特征值与特征向量6.特征值与特征向量的性质：（1）n阶矩阵与它的转置矩阵的特征值相同。（2）矩阵的迹（4）矩阵多项式的特征值7.特征向量之间的关系：（1）正交的向量组线性无关（2）不同特征值对应的特征向量之间是线性无关的（3）若矩阵是实对称的，则不同

7、特征值对应的特征向量是正交的。8.相似矩阵（1）定义（2）性质：①反身性，对称性，传递性②相似矩阵有相同的特征值行列式相等有相同的可逆性③相似矩阵的秩相等9.矩阵相似对角化的条件（1）若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似（2）若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似（3）若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则对于矩阵A的每个特征值，其重数为，满足10.矩阵对角化的步骤11.实对称矩阵的对角化