一轮复习配套讲义第2篇第8讲函数与方程

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1、第8讲　函数与方程[最新考纲]1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.知识梳理1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b

2、)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．辨析感悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点．(×)(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(×)(4)若函数y＝f(x)在区间[

3、a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．(√)(5)(2013·天津卷改编)函数f(x)＝2x

4、log0.5x

5、－1的零点个数为2.(√)(6)(2013·广州模拟改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√)[感悟·提升]1．一点提醒　函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，如(1)．2．三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条

6、件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.考点一　函数零点的求解与判断【例1】(1)设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于(　　)．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)(2014·郑州一模)函数f(x)＝的零点个数是________．解析　(1)令f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3＜0，f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，∴x0∈(2,3)．(2)当x＞0时，令g(x)＝lnx，h(x)＝x2－2x.画出g(x)与h(x)的图象如图

7、：故当x＞0时，f(x)有2个零点．当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3.答案　(1)C　(2)3规律方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练1】(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内的零点个数

8、是(　　)．A．0B．1C．2D．3(2)(2013·重庆卷)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析　(1)因为f′(x)＝2xln2＋3x2＞0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．(2)由于a0，f(b)＝(b－

9、c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案　(1)B　(2)A考点二　根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解　(1)法一　∵x＞0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成